February 13th, 2011

Мотивные пучки Артина-Тейта и этальные реализации

В моей статье построена некая точная категория FXm, кандидат в точные категории мотивов Артина-Тейта над гладким многообразием X с коэффициентами Z/m. Что нужно для того, чтобы действительно вложить ее в триангулированную категорию мотивов над X, многочисленные варианты конструкции которой обсуждаются в современных публикациях? Похоже, что ситуация обстоит следующим образом.

1. Нужно работать с произвольными многообразиями X, не обязательно гладкими.

2. Как известно, для негладких многообразий X функтор тейтовской подкрутки на триангулированной категории мотивов над X не является вполне строгим, соответственно, есть разница между стабильными (стабилизированными по тейтовской подкрутке) и нестабильными мотивными когомологиями.

3. Как известно, для обычных (нестабильных) мотивных когомологий негладких многообразий X нарушается правило этального спуска Бейлинсона-Лихтенбаума. Важно, чтобы для стабильных мотивных когомологий негладких многообразий это правило выполнялось. Так ли это, я не знаю (на MathOverflow мне ничего не ответили).

4. Далее, нужен формализм "шести операций" Гротендика для триангулированных категорий мотивов над X с коэффициентами Z/m, стабилизированных по тейтовской подкрутке. При этом существование такого формализма для нестабильных триангулированных категорий мотивов вело бы к противоречию (он, впрочем, и по другим соображениям, видимо, не может существовать).

5. Наконец, нужен функтор этальной реализации для таких мотивов, принимающий значения в этальных пучках Z/m-модулей на X и коммутирующий с шестью операциями.

При этих условиях, отождествление FXm с точной подкатегорией MAT(X,Z/m) в триангулированной категории стабильных мотивов DMstab(X,Z/m), порожденной объектами p!Z/m(j), где p: Y → X -- квазиконечные морфизмы, представляется более-менее разрешимой задачей. В отсутствие условия 3, можно построить точный функтор MAT(X,Z/m) → FXm.

Задача по DG-категориям

Пусть k -- коммутативное кольцо, D -- k-линейная DG-категория с конусами и сдвигами, E ⊂ H0(D) -- полная подкатегория, замкнутая относительно расширений, такая что Hom(X,Y[i]) = 0 при X, Y ∈ E и i < 0. Построить функториальную цепочку отображений, с морфизмами комплексов k-модулей в одну сторону и их квазиизоморфизмами в другую, из комплексов CE(X,Y), вычисляющих ExtE(X,Y), в комплексы HomD(X,Y).

Основная трудность, видимо, в том, что комплексы морфизмов HomD(X,Y), имеющие когомологии только в неотрицательных когомологических градуировках, нельзя в общем случае мультипликативно квазиизоморфно заменить на комплексы, целиком сосредоточенные в неотрицательных когомологических градуировках.