January 24th, 2011

Неопубликованный результат Д.О. о матричных факторизациях в неаффинном случае

Пусть X -- регулярная (отделимая) нетерова схема конечной размерности Крулля, w -- глобальная функция на X, не являющаяся делителем нуля в кольцах функций на аффинных открытых подсхемах X, и Z -- замкнутая подcхема нулей функции w. Начиная с какого-то момента мы будем предполагать, что на X достаточно много векторных расслоений (которые мы также называем локально свободными пучками, т.е., последние предполагаются когерентными). Будем называть матричной факторизацией пару локально свободных пучков на X вместе с парой морфизмов в обе стороны между ними, такой что обе композиции суть умножения на w.

Более общие понятия матричных факторизаций (с сечением линейного расслоения вместо глобальной функции и т.п.) рассматривались А.П.-А.В. и, возможно, другими авторами. Ниже я ограничиваюсь, для простоты, описанным частным случаем, хотя можно предположить, что в обобщенных ситуациях аргумент тоже проходит.

Матричные факторизации образуют DG-категорию, и на самом деле, даже точную DG-категорию (что важно в неаффинном случае). Из гомотопической категории этой DG-категории имеется функтор "коядра стрелки в одном фиксированном направлении из двух" в ограниченную производную категорию особенностей Z (факторкатегорию ограниченной производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории совершенных комплексов пучков). Достаточно очевидно, что этот функтор факторизуется через абсолютную производную категорию матричных факторизаций.

Года полтора или два назад Д.О. устно анонсировал утверждение, что полученный функтор является эквивалентностью категорий. Более простой случай, когда X аффинно (так что абсолютная производная категория совпадает с гомотопической) рассмотрен в его старой работе. Как мне кажется, рассуждений из этой работы достаточно, чтобы установить, что производная категория особенностей является факторкатегорией гомотопической категории матричных факторизаций по ядру функтора, отображающего вторую в первую. Подробное доказательство этого утверждения (в формулировке "производная категория является факторкатегорией гомотопической категории матричных факторизаций по локально стягиваемым объектам) имеется в работе А.П.-А.В. (где также формулируется, без доказательства, результат Д.О. в полном виде).

Далее предполагается серия постингов, содержащих доказательство оставшейся части этого результата Д.О., т.е., того, что ядро функтора совпадает с толстой подкатегорией абсолютно ацикличных матричных факторизаций. Доказательство это основано на паре простых идей берклиевских аспирантов Д.П. и К.Л., а также доказательстве теоремы 3.2 из моей работы с А.П. (восходящем к доказательству теоремы 7.2.2 из полубесконечного трактата).

Update: работа Д.О., содержащая доказательство его результата, появилась в Архиве этой ночью -- http://arxiv.org/abs/1101.4051 . Ну, значит теперь будет два доказательства. Хотя Д.О. теперь утверждает больше -- полную строгость функтора в случае, когда схема X особа. Этого я своим способом не умею доказывать, кажется.

Результат Д.О. о матричных факторизациях - 2

Наряду с матричными факторизациями, можно рассматривать то, что Д.П. и К.Л. называют "искривленными (когерентными) пучками" -- пары когерентных пучков на X с парами морфизмов между ними в обе стороны, такими, что обе композиции суть умножения на w. Из абсолютной производной категории матричных факторизаций в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков бьет естественный функтор.

Утверждается, что этот функтор является эквивалентностью категорий. Если опустить условие, что X регулярна, то верно то же самое, если рассматривать искривленные когерентные пучки конечной плоской размерности. Другой вариант -- рассматривать w-плоские когерентные пучки (на сечениях которых над открытыми множествами w действует инъективно). Во всех этих случаях, доказательство следует в русле доказательства теоремы 3.2 из нашей статьи с А.П.

Чтобы доказать аналог леммы A в ситуации искривленных пучков, нужно использовать вместо проективных модулей P' и P''' матричные факторизации, свободно порожденные некоторыми Z/2-градуированными векторными расслоениями. При этом должны быть сюрьективные отображения P' → N' и P''' → N'' (а не N''').

Доказательство аналога леммы B не отличается от доказательства в статье с А.П.

Самый трудный шаг -- это доказательство аналога леммы C. Collapse )

Результат Д.О. о матричных факторизациях - 3

Будем рассматривать более общую ситуацию, когда схема X нетерова, отделима, и на ней есть достаточно много векторных расслоений, но регулярность не предполагается. Тогда имеется следующая цепочка триангулированных функторов.

Абсолютная производная категория матричных факторизаций на X отображается в производную категорию особенностей Z (функтором коядра одной фиксированной стрелки из двух).

Производная категория особенностей на Z отображается в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X следующим образом. Ограниченному комплексу когерентных пучков сопоставляется соответствующий Z/2-градуированный комплекс, полученный путем взятия прямых сумм отдельно по четным и нечетным градуировкам. Берется прямой образ на X этого комплекса пучков на Z, и поскольку полученный комплекс пучков на X аннулируется w, он является искривленным пучком.

Очевидно, что таким образом получается функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X. Нужно только проверить, что этот функтор аннулирует совершенные комплексы пучков на Z. Это следует из того, что толстая подкатегория совершенных комплексов порождается ограничениями векторных расслоений с X. В самом деле, таких ограничений, рассматриваемых как векторные расслоения на Z, достаточно много; отсюда видно, что они являются компактными образующими неограниченной производной категории квазикогерентных пучков на Z, и следовательно, порождают все компактные объекты в последней категории. Образ ограничения векторного расслоения с X при нашем функторе очевидным образом представляется в виде коядра инъективного морфизма стягиваемых матричных факторизаций.

На самом деле, мы доказали больше. Имеется функтор производного обратного образа, бьющий из ограниченной производной категории когерентных пучков на X в ограниченную производную категорию когерентных пучков на Z (комплексы остаются ограниченными, поскольку гомологическая размерность OZ над OX конечна, точнее, равна единице). Этот производный функтор можно вычислять с помощью w-плоских резольвент комплексов когерентных пучков на X (факторизуя их по действию w). Из рассуждения выше видно, что наш функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X факторизуется через факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X.

Наконец, конструкция функтора коядра одной из двух стрелок определяет триангулированный функтор из абсолютной производной категории w-плоских искривленных когерентных пучков в факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X. Абсолютную производную категорию w-плоских искривленных когерентных пучков можно отождествить с абсолютной производной категорией всех искривленных когерентных пучков, после чего этот функтор и предыдущий становятся взаимно-обратными эквивалентностями категорий.

Композиции подряд идущих функторов в этой цепочке суть (1) естественный функтор из производной категории матричных факторизаций в производную категорию искривленных когерентных пучков на X и (2) функтор локализации из производной категории когерентных пучков на Z в ее факторкатегорию по ограничениям когерентных пучков с X.