January 9th, 2011

AS-горенштейновы коалгебры и двойственность

Если C -- коалгебра многочленов (т.е., коалгебра, двойственная к алгебре формальных степенных рядов) от конечного числа d коммутирующих переменных над полем k, то для любого C-комодуля (сколь угодно бесконечномерного; или даже для неограниченного комплекса C-комодулей) М спаривание со значениями в ExtCd(k,k) определяет изоморфизм

ExtCd-i(M,k) ≅ ExtCi(k,M)*.

Чтобы доказать это, можно заметить, что контравариантные функторы с обеих сторон отображения переводят прямые суммы комплексов комодулей M в прямые произведения пространств Ext, ну и согласованы со сдвигами и конусами тоже. А копроизводная категория C-комодулей (совпадающая с производной категорией C-комодулей ввиду конечности гомологической размерности C) компактно порождена комодулем k. Другой способ -- написать изоморфизмы

ExtC(M,k)[-d] = CoextC(M,RΨC(k))[-d] = CoextC(M,k) = CotorC(k,M)* = ExtC(k,M)*.

Все то же самое применимо к любой AS-горенштейновой конильпотентной коалгебре, разумеется.

Задача про AS-горенштейновы коалгебры

Пусть L -- конечномерный левый комодуль над коалгеброй C (или ограниченный комплекс таких комодулей). Комодулю L можно сопоставить объект контрапроизводной категории контрамодулей над C двумя способами:

1. Применить комодульно-контрамодульное соответствие, получив комплекс RΨC(L) (что имеет смысл для любого комодуля или комплекса комодулей на месте L);
2. Рассмотреть структуру левого контрамодуля на L, связанную со структурой левого комодуля (что имеет смысл, поскольку L конечномерен).

Предположим теперь, что коалгебра C -- (конильпотентная) AS-горенштейнова размерности d. Тогда при L = k комплексы контрамодулей в 1. и 2. отличаются гомологическим сдвигом на d (в этом состоит определение AS-горенштейновости, дополнительно к условию конечности гомологической размерности). Можно ли утверждать то же самое для произвольных конечномерных комодулей L?

AS-горенштейновы коалгебры и категории Калаби-Яу

Гипотетически, ограниченная производная категория конечномерных комодулей (она же подкатегория компактных объектов в копроизводной категории произвольных комплексов комодулей) над AS-горенштейновой коалгеброй является категорией Калаби-Яу.

Это значит, что градуированные пространства Hom в ней конечномерны и функтор сдвига на горенштейнову размерность является функтором Серра. Первое утверждение проверить легко, а соображения к тому, как можно было бы попробовать доказать второе, содержатся в двух предыдущих постингах.

В частности это означает, кстати, что ограниченная производная категория конечномерных нильпотентных модулей над конечномерной нильпотентной алгеброй Ли должна быть категорией Калаби-Яу.

Литература:
1. B.Keller, Calabi-Yau triangulated categories.
2. V.Ginzburg, Calabi-Yau algebras.