January 7th, 2011

Ошибки

В моих математических ЖЖ-постингах частота ошибок (доля неудачных попыток и т.д.) явно стала гораздо выше, чем была два-три года назад. Поскольку я по-прежнему стараюсь отмечать ошибки в апдейтах или последующих постингах, это легко усмотреть из поверхностного просматривания постингов.

Возможные объяснения:
а) Я стал легче относится к математическим ЖЖ-постингам и менее внимательно проверять свои рассуждения перед ЖЖ-публикацией.
б) Я стал заниматься более трудными вопросами или вещами, опыта работы с которыми у меня меньше, чем с тем, чем я занимался раньше; поэтому и ошибаюсь чаще.
в) Я старею и мне становится труднее следить за деталями.

Непонятно.

Теория чисел

Я начал учить теорию полей классов (и вообще арифметику за пределами матшкольной грамоты типа x2 + y2 = n и т.п.), будучи, кажется, первокурсником, на неформальном спецкурсе, который читал для меня и нескольких моих сверстников Михаил Розенблюм. Соображал я об те времена довольно слабо, будучи в печальном и рассеянном настроении духа, да и сам М.Р. готовился к своим выступлениям немного приблизительно. В общем, это получился, может быть, единственный в моей жизни случай learning by osmosis, как говорят американцы.

На следующий год у М.Р. родилась дочка, и как мы ни пытались его уговорить, учить нас дальше он не согласился. На своем четвертом курсе я уже сам читал неформальный спецкурс по теории полей классов другой группе своих сверстников, тут-то ее наконец и выучил более-менее в деталях.

Года полтора назад у нас появился семинар (сектора/лаборатории) по теории чисел, а начиная с последней осени М.Р. стал туда захаживать. Я, конечно, не упустил возможности похвастаться фактом написания последним летом работы, существенно использующей теорию полей классов, в тех выражениях, что мол, ваши усилия не пропали даром. Оказалось, что М.Р. смотрит на это дело совершенно иначе и говорит, буквально, что теорию полей классов должна знать "каждая домохозяйка", и поэтому, чем бы я ни занимался, хорошо, что я ее знаю. Наверное, он говорил нам что-то такое и тогда, в конце 80-х, да я позабыл.

Я, со своей стороны, не считаю, что есть что бы то ни было, что должна знать каждая домохозяйка, или каждый алгебраист и т.п., и просто рад, что от его и моих усилий по моему изучению теории полей классов вышла научная польза, и у меня нашелся случай использовать эти познания.

Квазилогарифмический коцикл

Пусть x -- унипотентный линейный оператор, действующий на конечно-порожденном модуле V над кольцом целых l-адических чисел Zl (или даже просто на абелевой группе l-кручения, или на векторном пространстве над Z/l). Если бы у нас был модуль над рациональными числами, мы могли бы определить логарифм log(x) как сумму конечного ряда (обрывающегося ввиду унипотентности x). Но над целыми l-адическими числами это невозможно, поскольку мешают натуральные числа, делящиеся на l, в знаменателях ряда для логарифма.

Неожиданным частичным решением этой неразрешимой проблемы является следующий 1-коцикл на группе Zl*. Представим себе, что логарифм нам нужен для того, чтобы он преобразовывал степени x в его аддитивные кратные. Этого у нас нет, но во всяком случае, мы можем написать x−1 вместо log(x). Разумеется, это не обладает нужным свойством; xn−1 не равно n(x−1). Но насколько сильно одно отличается от другого?

Сопоставим натуральному числу n, не делящемуся на l, выражение (1 + x + … + xn−1)/n. Это тоже унипотентный линейный оператор, действующий на том же модуле V. Обозначим его через ψ(x,n). Легко проверить, что ψ(x,n) как функция от n продолжается по непрерывности с натуральных чисел, не делящихся на l, на обратимые целые l-адические числа. Эта функция удовлетворяет уравнению коцикла ψ(xn,m)ψ(x,n) = ψ(x,nm). Тому же уравнению удовлетворяет и функция ψ'(x,n) = nψ(x,n), но ее значения суть просто обратимые операторы, не унипотентные.

Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(x,n) = θ(xn)/θ(x), где φ -- любое отображение, скажем, из унипотентных операторов на V в унипотентные, или хотя бы в обратимые (вопрос о коммутативности я пока игнорирую -- можно считать, что все операторы, так или иначе выражающиеся через x, предполагаются коммутирующими между собой). Но наши функции ψ и ψ' такого вида (судя по всему) не имеют, поскольку для этого пришлось бы (если говорить о ψ') взять θ(x) = x−1, а такие операторы не обратимы, и вообще в интересующем нас случае нильпотентны.

Продолжение следует.