December 28th, 2010

Героический период

За четыре года (с середины октября 2006 по декабрь 2010 минус депрессивный последний квартал 2007) я написал примерно 700 страниц математического текста (не считая блог/MathOverflow-постингов и черновиков-набросков). Туда вошли, в частности, доказательства ряда результатов, которые не удавалось получить в предшествующие годы и которые были получены в течение этих четырех лет.

Сейчас этот период, видимо, закончился. Придется искать какой-то другой ритм жизни и работы, по крайней мере, на ближайшую перспективу.

Д. Манин про философию науки

http://www.atheismru.narod.ru/humanism/journal/38/manin.htm

Эпиграф из Лакатоша:

Физики редко проясняют свои теории до той степени, когда критику легко поймать их на слове.

Текст Манина:

Не понимая настоящей физики, выраженной уравнениями, философы принимают за физику слова, которые говорятся вокруг и по поводу уравнений (в том числе, конечно, и самими учёными). Но слова обманчивы, двусмысленны и многолики, как Протей. И чем дальше, тем эта ситуация становится хуже, потому что уравнения, которыми оперирует современная наука, усложняются чрезвычайно, и всё труднее оказывается без специального образования хотя бы приблизительно, на полуинтуитивном уровне, представить себе, как они выглядят и что означают. Но что говорить о современной науке, когда, как выясняется, классик философии науки обнаруживает непонимание даже классической механики. Впрочем, дело не в сложности уравнений, а в принципиально разном модусе мышления философа и физика. Философ убеждён, что всё, что можно доказать, можно доказать одними словами; в этом и состоит главный порок философии, по крайней мере когда она обращается к естествознанию.

Мотивы Тейта и кольца дискретного нормирования (ответ на вопрос Вадика В.)

Пусть V -- кольцо дискретного нормирования с полем частных K и полем вычетов k, и пусть m = lr -- степень простого числа, не равного характеристике k. Рассмотрим вложения схем j: Spec K → Spec V и i: Spec k → Spec V. Наша цель -- описать в терминах комплексов фильтрованных модулей над группами Галуа функтор i*Rj*, действующий из производной категории мотивов Тейта над K в производную категорию мотивов Тейта над k (с коэффициентами в Z/m).

Как соотносятся группы Галуа GK и Gk? Во-первых, в GK есть замкнутая подгруппа GL, изоморфная группе Галуа поля частных L гензелизации W локального кольца V. Во-вторых, группа Gk является факторгруппой группы GL по подгруппе инерции I. Группа инерции является произведением своих силовских подгрупп, из которых все, кроме p-подгруппы (где p -- характеристика k, если она конечна) суть бесконечные циклические про-q-группы, а точнее, проективные пределы групп корней из единицы Zq(1).

Пусть нам дан фильтрованный GK-модуль (М,F) над Z/m c циклотомическими присоединенными факторами. Ограничим действие GK до действия GL и возьмем инварианты относительно произведения силовских q-подгрупп группы инерции по всем q, не равным l. Ключевой последний шаг состоит в том, чтобы построить производный функтор инвариантов относительно Zl(1).

Выберем образующую x группы Zl(1); это определит нам, в частности, образующую x mod m группы μm. Рассмотрим отображение (x-1)/(x mod m): M → M ⊗ μm⊗−1. Поскольку x действует тривиально на присоединенных факторах M по фильтрации F, описанное отображение сдвигает фильтрацию, т.е. определяет морфизм фильтрованных модулей M → M(−1).

При замене образующей x на xn, этот морфизм умножается на (1 + x + … + xn-1)/n. Заметим, что порядок x как оператора на M является степенью l (поскольку x унипотентен). Пользуясь этим, нетрудно проверить, что интересующее нас выражение, как функция со значениями в унипотентных (по отношению к фильтрации F) операторах на M, продолжается по непрерывности с множества натуральных чисел n, взаимно-простых с l, на Zl*. Таким образом, построенный двучленный комплекс M → M(−1) определен однозначно с точностью до однозначно определенного изоморфизма (задаваемого действием нашего выражения на правом члене).

Окончание следует.

6.01.11 - Update. Вадик указал на ошибку: описанное отображение (x-1)/(x mod m) не является морфизмом GL-модулей, кроме как в случае, когда k содержит все корни из 1 степеней, являющихся степенями l.

Мотивы Тейта и кольца дискретного нормирования - 2

Теперь мы можем сопоставить всякому комплексу (C,F) фильтрованных модулей над GK с циклотомическими присоединенными факторами тотальный комплекс бикомплекса с двумя строками CI' → CI'(−1), где I' -- часть группы инерции, состоящая из элементов порядков, взаимно-простых с l.

Единственная проблема в том, что полученный таким образом комплекс является комплексом фильтрованных GL'/L-модулей (где L' -- расширение поля L, соответствующее группе I'), а нам нужно получить комплекс фильтрованных модулей над группой Gk, являющейся факторгруппой GL'/L по абелевой группе Zl(1).

Решение этой проблемы предлагается вот какое. Зафиксируем униформизующий элемент π локального кольца V. Тогда поле L можно расширить, добавив какую-нибудь согласованную систему корней из π степеней, являющихся степенями l. Этому расширению полей соответствует сечение Gk → GL'/L естественного сюрьективного гомоморфизма GL'/L → Gk. Скомпоновав действие GL'/L с этим сечением, получим комплекс фильтрованных Gk-модулей, который нам нужен.

Замена согласованной системы корней из π отвечает элементу группы Zl(1), сопряжение с помощью которого трансформирует соответствующие сечения гомоморфизма групп одно в другое. Действие этого элемента определяет естественный изоморфизм комплексов фильтрованных Gk-модулей, задающий этот комплекс как не зависящий от выбора согласованной системы корней с точностью до однозначно определенного изоморфизма.

Что касается зависимости от униформизующего элемента π (точнее, от его образа в про-l-пополнении L*), то ее устранять я не умею. Возможно, эта зависимость и должна быть неустранимой в силу причин, связанных с зависимостью этальной фундаментальной группы от выбора базовой точки.

Напоследок отметим, что конструкция эта в таком виде неприменима к мотивам Артина-Тейта, поскольку действие Zl(1) на присоединенных факторах их фильтраций может быть нетривиальным, в результате чего условие согласования дифференциала комплекса с фильтрацией нарушается.