November 12th, 2009

Неоднородная горенштейновость по Артину-Шельтеру

Классически известно понятие положительно градуированной алгебры, горенштейновой по Артину-Шельтеру. Это такие некоммутативные алгебры, с гомологической точки зрения очень похожие на алгебры коммутативных многочленов от конечного числа переменных.

Пусть C -- конильпотентная коалгебра; тогда, с точностью до изоморфизма, существует единственный (левый или правый) одномерный C-комодуль, и единственный одномерный C-контрамодуль. Конильпотентная коалгебра C называется горенштейновой по Артину-Шельтеру размерности d, если она имеет конечную гомологическую размерность, и функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит одномерный С-комодуль в одномерный С-контрамодуль, сдвинутый в когомологической степени на d, и обратно.

Гипотеза:
0. Конильпотентная коалгебра C, горенштейнова по Артину-Шельтеру размерности d, имеет гомологическую размерность d. Также и наибольшая степень ненулевых элементов в ExtC(k,k) равна d.
1. Конильпотентная коалгебра C является горенштейновой по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра ExtC(k,k) фробениусова. При этом компонента ExtCd(k,k) одномерна, и умножение, бьющее в эту компоненту, как раз и задает невырожденное спаривание на ExtC(k,k).

Поскольку градуированные алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру, в любом случае имеют конечномерные компоненты, с ними можно связать градуированно-двойственные к ним коалгебры, которые тоже должны быть горенштейновы по Артину-Шельтеру. Переход к коалгебрам должен позволить увеличить общность, избавившись от требования существования градуировки в определении горенштейновости по Артину-Шельтеру. Также он должен облегчить использование производной кошулевой двойственности/тройственности (в доказательстве вышеприведенной гипотезы).

В числе примеров конильпотентных коалгебр, горенштейновых по Артину-Шельтеру (размерности d) должны быть конильпотентные кообертывающие коалгебры конечномерных (ко)нильпотентных (ко)алгебр Ли (размерности d).

***

Это все очень похоже на правду, но самое интересное не это, а -- что такое (ко)алгебры, горенштейновы по Артину-Шельтеру размерности бесконечность? Ясно, что условие конечности гомологической размерности надо отбросить, а условие на функтор комодульно-контрамодульного соответствия переписать так, что он должен переводить одномерный ко/контрамодуль в ацикличный комплекс. На языке градуированных алгебр, это будет ExtA(k,A)=0. Очевидно также, что этого условия недостаточно. Ну, и на что нужно заменить свойство фробениусовости, тоже непонятно.

Горенштейновость кошулево самодвойственна

Пусть A и B -- две двойственные кошулевы алгебры. Тогда между подходящими производными категориями градуированных A- и B-модулей есть антиэквивалентность, переводящая свободные модули в тривиальные и обратно, т.е. A<->k и k<->B. Таким образом, ExtA(k,A) = ЕxtB(k,B). Биградуировка на Ext'ах при этом как-то там трансформируется, конечно.

В случае кошулевой алгебры A и квадратично двойственной к ней кошулевой коалгебры C, это будет ковариантная эквивалентность категорий и происходящий из нее изоморфизм ExtA(k,A) = ExtC(C,k).

Вот и вся недолга, приблизительно. Отчего и почему на изобретение такой простой вещи у меня ушло пятнадцать лет?

P.S. Отсюда следует, в частности, что ExtA(k,A)=0 и для внешней алгебры А от бесконечного числа переменных тоже, т.е. внешняя алгебра от бесконечного числа переменных похожа на симметрическую алгебру от бесконечного числа переменных в этом отношении. При этом если этот самый Ext для симметрической алгебры от бесконечного числа переменных есть "одномерное пространство в когомологической и внутренней градуировках ∞", то для внешней алгебры от бесконечного числа переменных это "одномерное пространство в когомологической градуировке 0 и внутренней градуировке ∞".

An e-mail exchange with V.Retakh

Lenya, privet,

I have a comment on your post on Artin-Shelter algebras. The question is
what is the right noncommutative analogue of commutative situations. I
discussed it many times with the late Gelfand. Let F be a field. Our idea
was that the correct generalization of the commutative polynomial algebra
F[x_1,...,x_n]$ is the free algebra F< x_1,...,x_n>. The growths of these
two algebras are completely different. Therefore, to look at "Algebraic
Geometry" defined by noncommutative algebras with a small growth as a
generalization of the commutative Algebraic Geometry is not so natural.
What do you think?

All the best,

Volodia

Collapse )