November 9th, 2009

Еще о нильпотентных алгебрах Ли и квадратично-линейных коалгебрах

В продолжение http://posic.livejournal.com/327501.html и http://posic.livejournal.com/333882.html
См. также http://posic.livejournal.com/240665.html и http://posic.livejournal.com/203145.html

Стал думать, как доказывать ацикличность ΨS(R) и пришел к банальному выводу, что для пронильпотентной алгебры Ли h надо рассматривать убывающую фильтрацию h⊃[h,h]⊃[h,[h,h]]⊃... (G0h=h, G1h=[h,h] и т.д.). Для конильпотентной коалгебры Ли это будет возрастающая фильтрация; она индуцирует возрастающую фильтрацию конильпотентной кообертывающей коалгебры; и основное свойство конильпотентной кообертывающей состоит в том, что присоединенный фактор к этой возрастающей фильтрации на ней есть симметрическая коалгебра, копорожденная исходной коалгеброй Ли как векторным пространством.

После этого начал вспоминать, что когда я 15 лет назад размышлял про нильпотентные квадратично-линейные алгебры, там было важно существование такого рода фильтрации на пространстве образующих, и возникало условие кошулевости присоединенного фактора исходной градуированной кошулевой алгебры по этой фильтрации (совместной дистрибутивности решеток соответствующих). Откуда следует предположение, что в более недавнее время (по первой ссылке выше) я, возможно, был слишком оптимистичен.

Отдельно интересно, не совпадает ли фильтрация G на конильпотентной кообертывающей с коаугментационной фильтрацией, но это несколько побочный вопрос.

Полубесконечные гомологии супералгебр Ли

Кажется, их определение нигде не прописано, только у Б.Ф. говорится, что оно аналогично четному случаю. Я долго не понимал, как такая вещь должна выглядеть, теперь понял. Там есть много тонкостей, таких как каноническое центральное расширение, изоморфизм "левой" и "правой" полуалгебр и т.д.; я в этом, конечно, не копался.

Но на самом поверхностном уровне -- прежде всего надо заметить, что в суперслучае отсутствует феномен сдвиговой инвариантности, характерный для обычных алгебр Ли. Гомологии и когомологии конечномерной супералгебры Ли НЕ переводится одни в другие сдвигом размерности и подкруткой коэффициентов, как это происходит для конечномерных алгебр Ли (достаточно рассмотреть случай чисто нечетной одномерной абелевой супералгебры Ли). Соответственно, полубесконечные гомологии тейтовской супералгебры Ли должны самым существенным (непонятно, как описываемым) образом зависеть от выбора компактной открытой подалгебры.

С учетом этого, определение пространства полубесконечных симметрических форм не представляет трудностей -- это просто пространство неприводимого представления алгебры Гейзенберга, индуцированного с тривиального представления соответствующей абелевой подалгебры.

Наука советско-российская и мировая

http://flying-bear.livejournal.com/853141.html
http://hgr.livejournal.com/1665419.html

Трудная жизнь у патрологов. У нас вот конференция была, математики российского происхождения приезжали со всего света (из США, по большей части). Доклады по-русски делали (иногда со слайдами на английском).

Ведущий российский математический журнал (MMJ) теперь издается только по-английски, правда. В советские времена, все издавалось по-русски и переводилось на английский. Но перемена эта не от желания против кого-то или чего-то там бороться, а просто потому, что мы тут теперь пишем свои тексты сразу по-английски, хотя семинарим по-прежнему по-русски.

У физиков тоже трудная жизнь. Статьи в советских математических журналах, насколько я вижу, доступны в электронном виде как по-русски (свободно), так и по-английски (для подписчиков).

У провинциальных математиков тоже трудная жизнь. "Акты экспертизы" для меня -- это что-то из анекдотов о временах очаковских ("Уважаемые товарищи, эта работа не содержит ничего. Вообще ничего. Ее можно смело публиковать."). А также из многочисленных русскоязычных эпиграфов в книжке А.Б. и В.Д. про киральные алгебры, вышедшей по-английски в США ("Да поразит тя пуще грома ужасна, сильна аксиома!").

Что бы я стал делать, если бы с меня потребовали переводить все мои сочинения на русский для получения этих самых "актов"? Как говорит один ЖЖ-юзер, "проще застрелиться".

P.S. При этом специфическая "(пост)советская" (не связанная с мировой) математика, может быть, и существует, но в той мере, в которой она существует, линии размежевания проходят не по методологии, а просто по тематике. Соответственно, борьба между одним и другим может имеет место в плоскости званий-постов-грантов-контроля за учреждениями-пиара-привлечения студентов и т.п. -- условно говоря, мехмат МГУ против НМУ -- но не в плоскости конференций. С другой стороны, я вот по случаю попал однажды на алгебраическую конференцию памяти Куроша на мехмате, и видел там по крайней мере двух совершенных иностранцев, один из которых, собственно, меня и привел. Ну и докладчики, которых я слушал, ссылались тоже по большей части на иностранных ученых.