November 3rd, 2009

Полубесконечные когомологии и тейтовские когомологии

Еще одно продолжение http://posic.livejournal.com/332025.html

Все же некую аналогию между полубесконечными (ко)гомологиями алгебр Ли (именно алгебр Ли) и тейтовскими когомологиями можно провести, но видимо, она не очень существенна.

Пусть g -- тейтовская алгебра Ли с открытой пронильпотентной подалгеброй h, и пусть S -- соответствующая полуалгебра. Тогда если h бесконечномерна, то комплекс проективных полуконтрамодулей ΨS(R) (см. по ссылке) должен быть ацикличен (не то, чтобы я умел это доказывать, но по идее должно быть так; во всяком случае, это так, когда h бесконечномерна и абелева...) Полубесконечные гомологии полумодуля N вычисляет комплекс -- контратензорное произведение ΨS(R) и N, а полубесконечные когомологии полуконтрамодуля P -- комплекс полуконтрамодульных гомоморфизмов из ΨS(R) в P. То есть ацикличный комплекс ΨS(R) выступает в той же роли, в какой выступает ацикличная двусторонняя резольвента тривиального модуля в определении когомологий Тейта.

Разница в том, что категория полуконтрамодулей над S никоим образом не фробениусова и даже не горенштейнова. Комплекс ΨS(R) -- ацикличный, нестягиваемый комплекс проективных, но никак не инъективных объектов. В случае, когда пространство g/h конечномерно, комплекс ΨS(R) даже ограничен снизу; а полубесконечные (ко)гомологии при этом, хотя и не вполне "полубесконечны", но отнюдь не тривиальны. Все-таки комплекс ΨS(R) лучше мыслить себе как резольвенту (несуществующего) одномерного полуконтрамодуля на плюс бесконечности, а не модуля своих циклов в степени нуль.