November 1st, 2009

Экзотические производные категории

В развитие http://posic.livejournal.com/332025.html

Нижеследующее относится к ко- и контрапроизводным категориям абелевых или точных категорий (на худой конец -- к DG-модулям над неположительно когомологически градуированными DG-алгебрами и т.п.). В общем случае для (С)DG-модулей и т.д. никакого смысла не имеет.

Утверждение: объекты контрапроизводной категории могут мыслиться как комплексы, у которых, наряду с обычными когомологиями в конечных степенях, есть еще некие "когомологии в (когомологической) степени плюс бесконечность". Аналогично, объекты копроизводной категории суть комплексы, у которых есть некие "когомологии в степени минус бесконечность".

Обоснования:
1. Следуя этой логике, если у объекта контрапроизводной категории отсутствуют когомологии как в конечных степенях, так и в степени плюс бесконечность, то такой объект должен быть тривиален. Как минимум, это значит, что любой ограниченный сверху ацикличный комплекс должен быть тривиален как объект контрапроизводной категории. И это в самом деле так.

2. Объекты контрапроизводной категории можно представлять комплексами проективных объектов с точностью до гомотопической эквивалентности. Комплексы проективных объектов могут мыслиться как левые проективные резольвенты чего-то там. Например, если имеется ацикличный комплекс проективных объектов, то его можно представлять себе, как левую проективную резольвенту чего-то там, живущего в когомологической степени плюс бесконечность. Очень наглядно.