October 19th, 2009

Разговор с Сашей П.

0. Оказывается, разные люди пытались, и не с первой попытки, но все-таки вычислили когомологии Хохшильда категории матричных факторизаций для изолированной особенности. И получили в ответе кольцо Милнора R/(∂1f, ..., ∂nf).

1. Что такое (ко)гомологии Хохшильда CDG-алгебры B=(B,d,h)?
а) Какой стандартный комплекс их вычисляет?
б) Как представить их в виде Ext/Tor из B в B над B⊗Bop в подходящей версии производной категории CDG-модулей?
(б' -- Что такое теория Мориты (эквивалентность DG-категорий CDG-модулей) для CDG-алгебр, кстати?)
в) (Ко)гомологиями Хохшильда какой DG-категории они являются?

2. Похоже, что ответом на 1в) может быть только DG-категория CDG-модулей, проективных и конечно-порожденных как градуированные B-модули. Между тем, ответом на аналогичный вопрос для DG-модулей над DG-алгеброй A является DG-категория совершенных DG-модулей, что, в случае B=A, есть отнюдь не то же самое (разница между первым и вторым родами). Соответственно -- в чем разница между стандартными комплексами, вычисляющими (ко)гомологии Хохшильда DG-алгебры A и (ко)гомологии Хохшильда ее же как CDG-алгебры? Не отличаются ли они использованием прямых сумм вместо прямых произведений или наоборот при тотализации какого-то бикомплекса?

3. При каких условиях на B можно получить хорошие ответы на вопросы 1-2? Не нужно ли предполагать конечность гомологической размерности B#? Или ее нетеровость? (Условие изолированности особенности нам явно ни к чему, но от таких слабых условий на B# избавиться может быть трудно.) [Немного в сторону: при каких, кстати, условиях на B заведомо можно утверждать, что градуированно-проективные CDG-модули получаются прямыми суммами, конусами и гомотопическими эквивалентностями из градуированно-проективных конечно-порожденных CDG-модулей? В общем случае это совсем не похоже на правду, как мы понимаем благодаря Келлеру-Ловен-Николасу.]

4. Что есть циклические гомологии CDG-(ко)алгебры? Как связаны циклические гомологии неоднородно квадратично двойственных алгебры и CDG-коалгебры? (Обобщение Фейгина-Цыгана на неаугментированный случай.)