August 21st, 2009

О текущих соб.

Когда одну из сторон спора по вопросу, в существе которого я не готов разбираться, тащат в прокуратуру за клевету, я делаю для себя вывод, что эта сторона, видимо, более права, чем ее оппоненты.

Абсолютная квадратичная двойственность для полуалгебр

Пусть T -- биградуированная полуалгебра с градуировками i и j над коалгеброй C, градуированной только градуировкой i, т.е. вся C сидит в градуировке j=0. Предположим, что C отрицательно градуирована, т.е. Сi=0 для i>0 и C0=k. Тогда, как легко видеть, компоненты T0j полуалгебры T образуют градуированную алгебру A, поскольку C кодействует на них тривиально. Что значит, что S является правым сплетенным произведением A и C? Это просто значит, что отображения левого кодействия Tij → Ci⊗T0j являются изоморфизмами векторных пространств.

Пусть теперь С -- отрицательно градуированная коалгебра, а S -- градуированная полуалгебра над C, снабженная также возрастающей фильтрацией F, такой что F-1S=0 и F0S = C. Рассмотрим присоединенную градуированную полуалгебру T; она биградуирована градуировкой n, индуцированной с градуировки S, и градуировкой j, индуцированной фильтрацией F на S. Положим i=n-j. Будем называть фильтрованную и градуированную полуалгебру S абсолютно кошулевой справа, если биградуированная полуалгебра T c градуировками i и j является правым сплетенным произведением отрицательно градуированной кошулевой коалгебры C и положительно градуированной кошулевой алгебры A с компонентами Аj = T0j = FjSj.

Абсолютная квадратичная двойственность сопоставляет абсолютно кошулевой справа полуалгебре S, присоединенный фактор которой является сплетенным произведением кошулевой коалгебры C и кошулевой алгебры A, абсолютно кошулеву слева полуалгебру S!, присоединенный фактор которой является сплетенным произведением кошулевой коалгебры D = A! и кошулевой алгебры В = C!. Таким образом, S! является полуалгеброй над коалгеброй D. Присоединенные биградуированные полуалгебры T и T! к S и S! связаны двойственностью, описанной в предыдущем постинге.

Чтобы построить это соответствие, воспользуемся теорией относительной неоднородной квадратичной двойстственности для полуалгебр. Последняя устанавливает эквивалентность категорий градуированно-фильтрованных полуалгебр вида S, градуированно-фильтрованных полуалгебр вида S!, и структур CDG-коалгебры на биградуированной коалгебре С⊗D (с коумножением, определенным в терминах нашего отображения сплетения), согласованных с обеими градуировками (т.е., если считать обе градуировки на C⊗D отрицательными, то дифференциал, элемент кривизны, и элементы замены связности должны иметь степень ноль относительно разности этих двух градуировок).

В последнем рассуждении есть тонкость, связанная с разной расстановкой знаков в определениях структур CDG-коалгебр, возникающих на сторонах S и S!. Похоже, из этой проблемы знаков вылезает необходимость менять знак отображения сплетения первых компонент при построении квадратичной двойственности для структур сплетения (в предыдущем постинге по ссылке выше). Это представляется довольно естественным.