August 20th, 2009

Квадратичная двойственность для структур сплетения

Как перевести на русский entwining structures? Пусть будут "структуры сплетения".

Старый вопрос: что такое квадратичные полуалгебры и квадратичная двойственность для полуалгебр не в относительном (относительно базовой коалгебры, которая помещается в нулевую компоненту), а в абсолютном смысле? Так чтобы, так сказать, замена соотношений на квадратично двойственные производилась по обеим группам переменных -- и тем, по которым алгебра, и тем, по которым коалгебра? Непонятно, но в связи с этим сюжетом, возможно, этот вопрос уже назрел.

Пока что рассмотрим случай структур сплетения. Правая структура сплетения для коалгебры C и алгебры A над полем k -- это отображение C⊗A → A⊗C, удовлетворяющее довольно очевидным условиям согласования с умножением и коумножением (а также единицей и коединицей). Левая структура сплетения -- это отображение в обратную сторону, удовлетворяющее аналогичным условиям согласования.

Пусть теперь C и A градуированы и квадратичны; будем рассматривать структуры сплетения, согласованные с биградуировкой на C⊗A и A⊗C. Такая структура однозначно определяется отображением C1⊗A1 → A1⊗C1. Условия согласованности на это отображение состоят в том, чтобы его соответственно итерированная версия переводила C2⊗A1 внутрь A1⊗C2 и C1⊗RA внутрь RA⊗C1, где C2 есть вторая компонента C, рассматриваемая как подпространство в C1⊗C1, а RA есть пространство соотношений в A, рассматриваемое как подпространство в A1⊗A1.

Квадратичная двойственность сопоставляет квадратичной коалгебре C квадратичную алгебру B с образующими B1 = C1 и соотношениями RB = C2, а квадратичной алгебре A -- квадратичную коалгебру D с кообразующими D1 = A1 и второй компонентой D2 = RA. Теперь очевидно, что по правой структуре сплетения для A и C, согласованной с биградуировкой, можно построить левую структуру сплетения для B и D.

Что касается интересующих меня квадратичных полуалгебр, то про них пока только одно можно сказать: они должны быть градуированы целыми числами, так чтобы образующие алгебры жили в градуировке 1, а кообразующие коалгебры -- в градуировке -1. И хотелось бы, чтобы двойственный объект тоже был полуалгеброй (а не кокольцом).