July 29th, 2009

Производная категория фильтрованных векторных пространств

Вот любопытная задача как раз для выпускников детского сада экзамена по гомологической алгебре для второкурсников: описать производную категорию точной категории неограниченно фильтрованных векторных пространств (с полной и кополной фильтрацией). Я всегда думал, что ответом является производная категория градуированных k[x]-модулей, но это верно только для ограниченных фильтраций (возрастающих или убывающих). Дело в том, что фильтрованному векторному пространству (V,F) можно сопоставить градуированный k[x]-модуль с компонентами FiV, но не не всякий градуированный k[x]-модуль так получается: в частности, модуль k[x,x-1] никакому фильтрованному векторному пространству не соответствует. Может быть, ответом является производная категория градуированных k[ε]/ε2-модулей?

Немного подумав: ну да, все так и есть. Градуированные k[x]-модули с компонентами вида FiV суть в точности свободные градуированные k[[x]]*-контрамодули, а градуированные k[x]-модули с компонентами вида V/FiV суть косвободные градуированные k[[x]]*-комодули, и комодульно-контрамодульное соответствие их как раз и сопоставляет одни другим. Кошулева двойственность отождествляет соответствующие производные категории с производной категорией градуированных k[ε]/ε2-модулей.

Update: а функтор забывания фильтрации (в производную категорию векторных пространств), как функтор на производной категории градуированных k[ε]/ε2-модулей, есть когомологии Тейта (точнее, их компонента внутренней градуировки 0).