July 24th, 2009

Фильтрованные D-модули и функтор тривиальной фильтрации

Как известно, производная категория D-модулей на гладком многообразии эквивалентна копроизводной категории (С)DG-модулей над комплексом де Рама Ω. С другой стороны, производная категория фильтрованных (возрастающей фильтрацией с неотрицательными индексами, согласованной с фильтрацией кольца дифференциальных операторов по порядку д.о.) эквивалентна производной категории (неотрицательно) градуированных модулей над (неположительно) градуированным кольцом Ω[δ] (ср. предыдущий постинг). D-модулю M можно сопоставить фильтрованный D-модуль с тривиальной фильтрацией F-1M=0, F0M=M. Похоже, что нет никакого простого способа построить соответствующий функтор на уровне Ω-модулей. Аналогичная задача в ситуации неоднородной кошулевой алгебры над полем и двойственной к ней CDG-коалгебры, похоже, также не имеет решения.

Вот совсем простой пример подобного явления. Производная категория модулей над кольцом k[x] эквивалентна копроизводной категории DG-модулей над DG-алгеброй с нулевым дифференциалом k[ε]/ε2, где элемент ε живет в когомологической градуировке 1. С другой стороны, производная категория (неотрицательно) градуированных модулей над (неотрицательно) градуированным кольцом k[x] эквивалентна производной категории (неотрицательно) градуированных модулей над (неположительно) градуированным кольцом k[ε]/ε2. Неградуированному k[x]-модулю M можно сопоставить неотрицательно градуированный k[x]-модуль, все компоненты которого совпадают с M. Похоже, что нет никакого простого способа построить соответствующий функтор на уровне k[ε]/ε2-модулей.

На другую тему: что-то я, похоже, устал за лето. Лениво размышляю об этих фильтрованных D-модулях уже почти неделю, и мне это порядком надоело.