July 23rd, 2009

Две конструкции для CDG-колец

Пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо, т.е., B -- градуированное кольцо, d -- его нечетное дифференцирование степени 1, h -- элемент B степени 2, для которого выполняются соотношения d2(b) = [h,b] для всех b из B и d(h) = 0. Элемент h называется "элементом кривизны". Определение морфизма CDG-колец выписывать не буду; в общем, наряду с очевидного рода морфизмами, там есть еще морфизмы "замены связности"; подробности можно восстановить из дальнейшего.

Как отобразить CDG-кольцо (B,d,h) в CDG-кольцо с нулевой кривизной, т.е. DG-кольцо? Добавим к B свободную образующую δ степени 1 и продолжим на получившееся кольцо B<δ> дифференциал d по формуле d(δ) = h+δ2. Как легко проверить, получится CDG-кольцо. Теперь если "заменить на B<δ> связность на -δ", т.е. положить d'(x) = d(x)-[δ,x] для x из B<δ> и h' = h-d(δ)+δ2 = 0, то получится DG-кольцо (B<δ>,d'), в которое CDG-кольцо B отображается CDG-морфизмом.

Как отобразить CDG-кольцо (B,d,h) в CDG-кольцо с нулевой кривизной и нулевым дифференциалом, т.е. просто градуированное кольцо? Добавим к B образующую δ степени 1 с соотношениями [δ,b] = d(b) для b из B и δ2 = h. Продолжим на получившееся кольцо B[δ] дифференциал d по формуле d(δ) = 2h. Как легко проверить, получится CDG-кольцо. Теперь если "заменить на B[δ] связность на -δ", т.е. положить d'(x) = d(x)-[δ,x] = 0 для x из B[δ] и h' = h-d(δ)+δ2 = 0, то получится CDG-отображение из СDG-кольца B в градуированное кольцо B[δ].

Разумеется, дифференциалы d и d', как и элементы h и h', в B[δ] просто наследуются из соответствующих дифференциалов и элементов в B<δ> при факторизации последнего по идеалу, порожденному элементами вида [δ,b] - d(b) и δ2 - h. Можно профакторизовать B<δ> по идеалу, порожденному только элементами первого типа; тогда получится CDG-отображение из B в другое градуированное кольцо, в котором сохранился центральный элемент δ2 - h, аннулируемый дифференциалами d и d'.