July 11th, 2009

Математические проблемы

Как известно, слово "проблема" имеет два значения -- "проблема, которую надо решить" и "проблема, с которой нужно жить". Казалось бы, наука должна быть родом деятельности, в которой проблемы решают, а не приспосабливаются к ним. На практике все оказывается несколько сложнее.

Не превратились ли некоторые трудности, с которыми сталкивается современная гомологическая алгебра, в "проблемы, с которыми нужно жить" скорее чем "проблемы, которые надо решить"? Чем еще, если не этим, можно объяснить ту равнодушную реакцию, с которой столкнулись попытки частичного решения проблемы восстановления высшей К-теории по производной категории, предпринятые А.Н.? Не приобретает ли аналогичный статус "проблемы, с которой нужно жить" более широкая проблема "неправильности понятия триангулированной категории", проблема нахождения правильной, "более жесткой" версии этого понятия? Не приобрела ли, наконец, аналогичный статус проблема построения производной категории D-модулей в терминах DG-модулей над комплексом де Рама, подробное решение которой я недавно опубликовал?

Более оптимистический взгляд состоял бы в том, что нет важных проблем, простые и полные решения которых были бы проигнорированы математическим сообществом, но есть важные проблемы, запутанные и частичные решения которых игнорируются в ожидании решений простых и полных. Проблемой правильного определения триангулированной категории люди занимаются; и проблемой восстановления К-теории по производной категории недавно занялся Д.К. Может быть, есть общая тенденция игнорирования запутанных и частичных решений нечетко поставленных (т.е., как правило, самых важных) проблем? Может быть, такое положение вещей даже идет на пользу делу?

Автобиографическое

Манин в каком-то из интервью говорил, что молодые математики имеют пробивную силу, преодолевают трудности, а старые -- обладают глубоким видением, но ничего не могут сделать. Находясь в возрасте, когда я уже перестал быть "молодым математиком" и еще не стал "старым", я отмечаю, что моя жизнь в науке сложилась по-другому.

Мои ранние результаты -- это набор красивых, прозрачных идей, техническая реализация которых не представляет никаких трудностей. Я, конечно, пытался в юности проявить пробивную силу, штурмуя трудные проблемы, но попытки эти были неизменно безуспешны. В паре редких случаев, когда удавалось таким образом добраться до доказательств, изнеможение было настолько велико, что доказательства эти оставались не только не записанными, но даже и не запомненными; в памяти сохранялись только формулировки. Единственная моя ранняя работа, где преодолеваются технические трудности -- короткая заметка, придуманная и написанная за два дня, в состоянии сильной головной боли, во время подготовки к первой поездке в Штаты (она осталась неопубликованной и только вывешена в Архиве). Может быть, причина этому в том, что я всегда был очень самостоятелен в своих математических занятиях и по большей части решал задачи, которые ставил себе сам.

Не умея доказать все, что хотелось, я начал записывать и публиковать гипотезы, поначалу имплицитные, а потом все чаще явно сформулированные в таком виде. За редким исключением, никто, кроме меня самого, не пытался, насколько я знаю, их доказывать. Кроме самой первой своей работы, где доказывалась некая гипотеза, незадолго до того выдвинутая А.Г., я и сам почти не пытался доказывать чужих гипотез, поскольку мне хватало собственных. Первый случай, когда мне удалось доказать предположение, задолго до доказательства мною самим же и сформулированное, относится уже ко второй половине 90-х. Промежуток времени между моей формулировкой и моим же доказательством, составлявший полтора-два года в 90-х, увеличился до 4-5 лет в 2000-х.

Ничего по-настоящему трудного я так и не доказал до сих пор, и вряд ли когда-нибудь докажу. Но все же мои современные рассуждения сложнее и длиннее ранних. Не то, чтобы я стал умнее с возрастом, но, может быть, научился выбирать дыхание, соответствующее складу характера. Подступать к проблемам не штурмом, но осадой. Меньше пользоваться вычислениями и больше аналогиями. Полагаться не на действие, а на созерцание.