July 7th, 2009

Когомологии Тейта

Через две недели после того, как написал об этом в статье -- наконец понял, что это такое.

Пусть A -- DG-кольцо, подлежащее градуированное кольцо которого является горенштейновым слева градуированным кольцом (т.е. классы градуированных левых модулей конечной проективной и конечной инъективной размерности совпадают). Тогда имеется естественная эквивалентность между копроизводной и контрапроизводной категориями левых DG-модулей над A, поскольку обе эти категории эквивалентны абсолютной производной категории левых DG-модулей над A, подлежащие градуированные модули которых имеют конечную инъективную = проективную размерность. Эта эквивалентность категорий образует коммутативную диаграмму с функторами локализации, отображающими копроизводную и контрапроизводную категории DG-модулей над A в производную категорию DG-модулей.

Функтор, отображающий копроизводную категорию DG-модулей над A в производную категорию DG-модулей имеет правый сопряженный функтор (инъективные резольвенты Спалтеншнейна) для любого DG-кольца A. Аналогично, функтор, отображающий контрапроизводную категорию DG-модулей в производную категорию, имеет левый сопряженный функтор (проективные резольвенты Спалтенштейна). Таким образом, в горенштейновом случае функтор локализации из копроизводной = контрапроизводной категории имеет как левый, так и правый сопряженные. В такой ситуации имеется функтор, измеряющий разницу (конус) между левым и правым сопряженными функторами; этот функтор отображает производную категорию DG-модулей над A в ядро функтора локализации. Этот функтор надо скомпоновать с функтором Ext на ядре функтора локализации, чтобы получить когомологии Тейта как функтор двух аргументов на производной категории DG-модулей над A.

Морально, таким образом, когомологии Тейта есть функтор Ext на ядре функтора локализации из копроизводной = контрапроизводной категории DG-модулей над DG-кольцом A в производную категорию DG-модулей над А, где подлежащее градуированное кольцо DG-кольца A должно быть горенштейновым в указанном выше смысле.