June 6th, 2009

Вспоминая (не)вспоминаемое: t-структуры и кошулевость

Пусть на триангулированной категории D имеется t-структура, в сердцевине E которой все объекты имеют конечную длину. Рассмотрим "градуированную алгебру со многими объектами" Ext-ов в D между неприводимыми объектами из E. Если эта алгебра кошулева, то Ext-ы в E изоморфны Ext-ам в D. Я анонсировал этот результат лет 12 назад, но не записал и с тех пор в основном забыл. По случаю, попробовал тут вспомнить.

Идеи доказательства такие: рассмотрим точную категорию F конечно-фильтрованных объектов из D, присоединенные факторы которых принадлежат полупростой части Е. Ext-ы в категории E можно получить предельным переходом по ослаблению условий, налагаемых фильтрацией, из Ext-ов в категории F. Рассмотрим функтор слоя, сопоставляющий объекту категории F его присоединенный фактор -- градуированный полупростой объект категории E. Градуированными эндоморфизмами этого функтора слоя является некоторая "градуированная алгебра со многими объектами" A. Пусть категория градуированных A-модулей конечной длины обозначается через G; тогда имеется функтор "присоединенного фактора" F -> G. Должна быть какая-то чуть более прямая конструкция этого функтора, позволяющая связать Ext-ы в категориях F и G длинной точной последовательностью. Это должно делаться прямо на уровне Ext-ов по Йонеде. С другой стороны, Ext-ы в категории G есть Ext-ы над "градуированной алгеброй со многими объектами" A, а такие Ext-ы могут быть не совсем какими угодно. Между Ext-ами в категориях E и D есть известная связь (первые совпадают, вторые вкладываются, третьи отображаются), пользуясь которой вместе с кошулевостью Ext-ов в D можно увязать в конце концов Ext-ы в D и Ext-ы над A, заключив, что A кошулева. После этого можно посчитать Ext-ы в F, а значит и в E. "Ext-ы" здесь по большей части, но может быть не всегда, обозначают Ext-ы между неприводимыми объектами из E.

Все это, конечно, такая категорная вариация на известную тему "если когомологии проконечной группы с Z/l-коэффициентами кошулевы, то они совпадают с когомологиями ее максимальной про-l-факторгруппы". При этом точная категория F из рассуждения выше есть аналог категории смешанных мотивов Тейта с Z/l-коэффициентами.