June 2nd, 2009

Псевдокомпактные модули по Габриэлю

Над коалгеброй ( = топологической алгеброй, двойственной к коалгебре) есть два типа модульных категорий, а над топологическим кольцом, являющимся (скажем) проективным пределом артиновых колец, есть три типа модульных категорий! Одна из них очевидная, про другую давно знали все, кроме меня, ну а про третью давно знаю я, но вряд ли кто-нибудь еще.

Все дело в том, что категория конечномерных левых модулей над конечномерной алгеброй противоположна категории конечномерных правых модулей над той же алгеброй (функтор Hom_k(-,k)), но для категории модулей конечной длины над артиновым кольцом никакой подобной двойственности нет. В результате, над проартиновым кольцом можно рассматривать дискретные модули (= индуктивные пределы дискретных модулей конечной длины), а можно -- проективные пределы дискретных модулей конечной длины (псевдокомпактные модули, см. диссертацию П.Г.), и это -- совершенно разные вещи. И еще контрамодули можно рассматривать.

Похоже, комодульно-контрамодульное соответствие обобщается на топологические кольца, более общие, чем проконечные или двойственные к коалгебрам, как антиэквивалентность контрапроизводных категорий псевдокомпактных модулей и контрамодулей.