May 31st, 2009

О двух двойственных свойствах колец

Рассмотрим два важных свойства кольца R:

(*) Счетные произведения проективных левых R-модулей имеют конечную проективную размерность.

(**) Счетные суммы инъективных R-модулей имеют конечную инъективную размерность.

Пусть S -> R -- морфизм колец. Тогда если R является конечно-порожденным проективным правым S-модулем, то R обладает свойством (*), как только S обладает свойством (*). Аналогично, если R является конечно-порожденным проективным левым S-модулем, то R обладает свойством (**), как только S обладает свойством (**).

Не Бог весть что, конечно, но все же. Особенно в сочетании с прежним замечанием, что горенштейновы кольца обладают свойствами (*) и (**).