May 25th, 2009

Ко/контрапроизводная категория горенштейновой точной категории

(По итогам обсуждения в гостевой комнате.) Пусть имеется точная категория, в которой достаточно много проективных и инъективных объектов и классы объектов конечной проективной размерности и конечной инъективной размерности совпадают (горенштейнова точная категория). Пусть в этой точной категории также существуют и точны все прямые суммы и прямые произведения. Тогда ее копроизводная и контрапроизводная категории эквивалентны.

В самом деле, во-первых, инъективная размерность проективных модулей ограничена константой, поскольку иначе инъективная размерность прямой суммы последовательности проективных модулей возрастающей инъективной размерности была бы бесконечной. Поэтому бесконечное произведение проективных модулей имеет конечную инъективную размерность, а значит и конечную проективную размерность. Так что контрапроизводная категория есть гомотопическая категория комплексов проективных объектов; аналогично копроизводная категория есть гомотопическая категория комплексов инъективных объектов. Теперь и та, и другая есть абсолютная производная категория комплексов модулей конечной проективной размерности = конечной инъективной размерности.

То же самое верно для точных DG-категорий. В частности, все это применимо к CDG-модулям над CDG-кольцами, подлежащие градуированные кольца которых горенштейновы.