May 17th, 2009

Бесконечные произведения, проективные модули, контрапроизводные категории

Что-то все-таки не в порядке с моим подходом к этому сюжету. Все было вроде ничего, хотя и не без трудностей, но вот эта работа вывела меня из равновесия. Изначальный замысел состоял, можно сказать, в том, чтобы описать гомотопическую категорию проективных объектов как факторкатегорию гомотопической категории всей абелевой категории. Теперь оказывается:

1. Гомотопическая категория проективных модулей над любым кольцом хорошо порождена, и отсюда следует существование правого сопряженного функтора к функтору ее вложения в гомотопическую категорию всех модулей. Таким образом, она с ее правым ортогоналом образуют полуортогональное разложение.

2. Как явно описать этот ортогонал, совершенно неизвестно. Судя по ответу А.Н. на мое письмо, похоже, что он этого не знает. Конструкция контрапроизводной категории дает ответ на этот вопрос только при ограничительных предположениях, таких как правая когерентность кольца плюс конечность проективных размерностей плоских модулей.

3. Зато есть ответ на менее амбициозный вопрос об описании пересечения этого ортогонала с гомотопической категорией комплексов плоских модулей. Это пересечение состоит из чисто ацикличных комплексов, т.е., таких ацикличных комплексов, у которых модули коциклов плоские. Это верно для любого кольца, как доказано в статье.

4. Теперь если заменить кольцо на схему, то обнаруживается определение аналога гомотопической категории комплексов проективных модулей: факторкатегория комплексов плоских пучков по чисто ацикличным. Можно предположить, что для каких-то там не очень плохих схем такая факторкатегория тоже хорошо порождена, и может быть, отсюда даже можно вывести, что она является факторкатегорией гомотопической категории всех квазикогерентных пучков. [Update: действительно, все это доказано в диссертации Д.М., для случая отделимой нетеровой схемы.]

5. Что это за подкатегория получается в гомотопической категории квазикогерентных пучков, по которой надо факторизовать, совершенно неизвестно, но ясно, что конструкция контрапроизводной категории тут вряд ли поможет. С фактом отсутствия проективных объектов в категории квазикогерентных пучков тесно связан факт неточности бесконечных произведений в ней.

6. Зато у А.Н. только комплексы модулей или пучков, а у меня CDG-модули. Хорошо бы как-то все это соединить и совместно обобщить.

Релевантный вопрос по теории колец

При каких условиях на кольцо R счетные прямые суммы инъективных R-модулей имеют конечную инъективную размерность? Аналогично, при каких условиях на R счетные произведения проективных R-модулей имеют конечную проективную размерность?

Осталось понять, кому бы этот вопрос задать. Кто у нас сейчас крупные специалисты по гомологическим аспектам общей теории колец?