May 8th, 2009

Модельные категории без пределов: странные примеры - 1

Вот у меня пример двух, в каком-то смысле, эквивалентных по Квиллену модельных категорий без пределов. Ну, то есть категорий, удовлетворяющих всем аксиомам модельной категории, кроме существования произвольных пределов и копределов. Некоторые пределы и копределы в этих категориях все-таки есть, но не все.

А именно, там существуют:
1. проективные пределы любых непустых диаграмм;
2. все направленные (filtered) индуктивные пределы;
3. все копроизведения.

В то же время, в обеих категориях НЕ существуют:
4. конечный объект;
5. некоторые коуравнители;
6. некоторые расслоенные копроизведения (двух объектов над третьим).

Разгадка этой загадки планируется в следующем постинге.

Модельные категории без пределов: странные примеры - 2

Окончание этого -- http://posic.livejournal.com/291713.html

Разгадка обнаруживается, если присмотреться к этим модельным категориям без пределов поближе. Назовем их A и C. Категория A -- это категория ненулевых (ассоциативных) DG-алгебр, т.е., DG-алгебр с ненулевой единицей. Категория всех DG-алгебр, включая нулевую -- модельная категория, с пределами и копределами, а нулевая DG-алгебра в ней -- конечный объект. (Некоторые) пределы и копределы в категории A исчезли оттого, что мы выкинули этот конечный объект. Конечно, нулевая алгебра -- странная вещь, но нулевая DG-алгебра -- вещь уже несколько менее странная, если учесть, что существует много DG-алгебр, квазиизоморфных нулевой, но ненулевых. Все эти DG-алгебры с нулевыми когомологиями остались в категории A, выкинута только целиком нулевая DG-алгебра. Зачем же мы ее выкинули? Затем, что на ней не определена версия бар-конструкции, сопоставляющая DG-алгебре CDG-коалгебру.

Категория C -- это категория конильпотентных (коаугментированных) CDG-коалгебр. Она не получена выкидыванием чего-либо из чего-либо, в ней просто конечного объекта нет как нет. Так же, как нет начального объекта в категории CDG-алгебр. Но следуя интуиции тесной связи между категориями C и A, можно попробовать "улучшить" категорию C, добавив к ней конечный объект грубой силой. Collapse )

Не противоречит ли чему-либо вышесказанное? Допускает ли наука о модельных категориях существование морфизмов, являющихся одновременно расслоениями и корасслоениями, но не слабыми эквивалентностями? Может ли быть таким морфизмом морфизм из начального объекта в конечный?

Update: текст выше, написанный на горячую голову, содержит ошибки. Разумеется, не все объекты C_f должны быть фибрантны, это только в A_f все объекты фибрантны. Общая идея мне все же кажется верной пока еще, и сформулированные в конце вопросы остаются.