April 29th, 2009

Еще об экзотических производных категориях

В развитие http://posic.livejournal.com/255513.html и http://posic.livejournal.com/222799.html

Похоже, общее правило такое: для (квазикогерентных) пучков на бесконечномерных схемах (про-схемах проконечного типа) надо рассматривать производную категорию первого рода, для пучков на инд-схемах инд-конечного типа -- производную категорию второго рода.

Для пучков на конечномерных схемах технически хороши как производная, так и копроизводная категории, и надо выбирать. В этом случае на триангулированной категории, измеряющей разницу между производными категориями первого и второго рода, живут когомологии Тейта. Причем в категорию "конечномерных" попадают как просто нетеровы схемы, так и некоммутативные аффинные схемы конечной гомологической размерности.

Что касается спалтенштейновских "K-инъективных резольвент" для комплексов пучков, то их существование доказывается, в общности произвольных абелевых категорий Гротендика, в работе трех испанских авторов.

Что же до контрапроизводных категорий, то они технически хороши только для инд-нульмерных инд-схем (ну и еще в случае конечной гомологической размерности). А нульмерные схемы обычно аффинны, помимо прочего. Что приводит нас к вопросу: имеет вообще смысл пытаться определить контракогерентные пучки на формальных схемах или инд-схемах вне аффинного случая (в котором достаточно контрамодулей над топологическими кольцами)?

04.05.09. Update: к последнему абзацу -- совершенно случайно я наткнулся на статью, в которой (и далее по ссылкам) объясняется (хотя авторы и не знают таких слов), что контрапроизводные категории прекрасно себя ведут для модулей над коммутативными нетеровыми кольцами конечной размерности Крулля и некоммутативными нетеровыми кольцами с дуализирующими комплексами; в ситуации c дуализирующим комплексом имеется даже разновидность комодульно-контрамодульного соответствия.

Так что задача определения контракогерентных пучков на, по крайней мере, нетеровых формальных схемах выглядит вполне осмысленной. Вернее, выглядела бы -- если бы можно было понять, что такое контракогерентный пучок на обыкновенной (не формальной) неаффинной схеме, или если это просто квазикогерентный пучок (как в аффинном случае), то как работать с бесконечными произведениями квазикогерентных пучков на неаффинных схемах.