April 26th, 2009

Модельные структуры и эквивалентности локализованных категорий: странный пример

Нашел ошибку в своем 300-страничном тексте. Ну, то есть, просто ляп. К счастью для меня, это (пока) одиноко стоящий ляп: на неверное утверждение ничего не опиралось, оно нигде не использовалось. И зато в результате оказалось, что дела обстоят интереснее, чем представлялось раньше.

Имеется ситуация: на двух (абелевых) категориях есть модельные структуры. С произвольными пределами и копределами, функториальными факторизациями. Между этими двумя категориями есть пара сопряженных функторов, назовем их что ли R: C->D и L: D->C (соответственно, правый и левый). Эти функторы НЕ являются ни эквивалентностями Квиллена, ни даже сопряженными функторами Квиллена. Тем не менее, их производные функторы являются взаимно-обратными эквивалентностями гомотопических категорий (в смысле, локализаций C и D по слабым эквивалентностям).

В каком смысле производные функторы? В самом банальном: ограничиваем R на полную подкатегорию фибрантных объектов в C, компонуем с функтором локализации D -> Ho D, и оказывается, что полученный функтор из категории фибрантных объектов в C в Ho D факторизуется через единственный функтор Ho C -> Ho D, вот это и есть наш производный функтор. Аналогично для L, только его надо ограничивать на кофибрантные объекты.

Другие свойства функторов L и R:
0. Ни один из функторов L и R не сохраняет ни фибрантность объектов, ни их кофибрантность.
1. Функтор R переводит фибрантные объекты в кофибрантные, а функтор L -- кофибрантные объекты в фибрантные. Ограничения функторов R и L являются взаимно-обратными эквивалентностями между категориями фибрантных объектов в C и кофибрантных объектов в D.
2. Функтор R переводит тривиальные расслоения (т.е. расслоения, являющиеся слабыми эквивалентностями) в слабые эквивалентности. Функтор L переводит тривиальные корасслоения в слабые эквивалентности.
3. Если Y -- фибрантный объект C, а X -- кофибрантный объект D, то морфизм X->RY является слабой эквивалентностью тогда и только тогда, когда соответствующий морфизм LX->Y является слабой эквивалентностью.

Как относится к такой ситуации наука о модельных категориях?