April 23rd, 2009

Градуировка и топология - 2

Продолжение http://posic.livejournal.com/287300.html

Следующие категории эквивалентны; их объекты имеет смысл называть топологическими градуированными абелевыми группами (с линейной/аддитивной топологией).

1. Градуированные абелевы группы, снабженные непустыми множествами градуированных подгрупп, замкнутыми относительно конечных пересечений и перехода к большей градуированной подгруппе.

2. Прообъекты в категории градуированных абелевых групп, такие что в каждой фиксированной градуировке соответствующая проабелева группа происходит из топологической абелевой группы.

3. Топологические абелевы группы, снабженные базой окрестностей нуля, состоящей из открытых подгрупп, факторгруппы по которым разложены в прямую сумму градуировочных компонент согласованным образом относительно отображений, связанных с вложениями открытых подгрупп, входящих в базу.

В частности, градуированному объекту категории топологических абелевых групп соответствует топологическая градуированная абелева группа, но далеко не все топологические градуированные абелевы группы так получаются.

Также интересен вопрос, что такое топологическая абелева группа, фильтрованная возрастающей фильтрацией. Похоже, правильное определение такое: это топологическая абелева группа с линейной топологией, на дискретных факторгруппах которой заданы возрастающие фильтрации, строго согласованные с отображениями проекции между дискретными факторгруппами. К этому определению может быть нужно добавить какие-то дополнительные ограничения, в духе того, чтобы проективные пределы подфакторпространств фильтрации на дискретных факторгруппах сюръективно отображались в эти подфакторпространства.