April 22nd, 2009

Градуировка и топология

Вот уже примерно год, как меня мучает вопрос: что такое градуированное топологическое векторное пространство и как с ним работать? Началось это с тех пор, как я заглянул в известные недавние тексты А.Б. и В.Д.

Сейчас я, кажется, начинаю понимать. Нас интересуют, конечно, топологические векторные пространства с линейной топологией, т.е., в которых открытые векторные подпространства образуют базу окрестностей нуля. Категория таких топологических векторных пространств вкладывается как полная подкатегория в абелеву категорию провекторных пространств. Образом этого вложения являются провекторные пространства, которые можно представить направленными проективными системами векторных пространств, проективные пределы которых сюръективно отображаются в векторные пространства, составляющие проективную систему.

В градуированном случае хитрость, похоже, в том, чтобы рассматривать не градуированные объекты в категории провекторных пространств, а прообъекты в категории градуированных векторных пространств. Второй подход подразумевает, что у нас есть не просто разрозненный набор топологических векторных пространств, занумерованных индексами градуировки, но задана некоторая "равномерность" на совокупности этих топологий. Мы знаем не просто, что такое открытые подпространства каждого пространства V_i, но и что такое открытое семейство подпространств U_i\subset V_i.

Пока больше ничего не могу сказать, надо дальше думать.

Год назад в этот день в этом журнале -- http://posic.livejournal.com/227188.html