April 18th, 2009

В последний раз о слабых А-бесконечность алгебрах

В завершение http://posic.livejournal.com/257223.html , http://posic.livejournal.com/255913.html , http://posic.livejournal.com/254112.html и далее по ссылкам.

Вот что я понял после пояснений М.К.: в DG-категории А_бесконечность-модулей над слабой А_бесконечность алгеброй над полем (с ненулевым m_0) и А_бесконечность-морфизмов между ними все объекты стягиваемы. То же самое имеет место для строго унитальных А_бесконечность-модулей над строго унитальной слабой А_бесконечность-алгеброй и строго унитальных А-бесконечность-морфизмов.

Более того, все структуры неунитальной слабой А_бесконечность-алгебры на данном градуированном векторном пространстве А_бесконечность-изоморфны между собой -- пользуясь m_0 и А_бесконечность-изоморфизмами, можно убить все m_i для i>0. Аналогично, все структуры А_бесконечность-модуля над данной неунитальной слабой А_бесконечность-алгеброй на данном градуированном векторном пространстве изоморфны между собой.

Аналогичные утверждения справедливы в строго унитальном случае, в единственном предположении что m_0 и единица линейно независимы. Это предположение автоматически выполнено в Z-градуированной ситуации, но в Z/2-градуированной ситуации m_0 может быть кратно единице. В последнем случае задача классификации таких строго унитальных слабых А_бесконечность-алгебр не решается, поскольку их столько же, сколько просто унитальных слабых А_бесконечность-алгебр + ненулевых элементов поля. Тем не менее, строго унитальные А_бесконечность-модули над такими строго унитальными слабыми А_бесконечность-алгебрами все равно все стягиваются А_бесконечность-морфизмами.

Чтобы теория слабых А_бесконечность-алгебр перестала быть тривиальной, их нужно рассматривать над коммутативным кольцом, не являющимся полем (поясняет М.К.)

Доказывать все это удобно, пользуясь отождествлением строго унитальных слабых А_бесконечность-алгебр со структурами (некоаугментированных) CDG-коалгебр на тензорных коалгебрах, и строго унитальных А_бесконечность-модулей с соответствующими CDG-ко/контрамодулями, ко/свободными если забыть дифференциал.
  • Current Mood
    не зря съездил во Францию!
  • Tags