April 14th, 2009

A_бесконечность-алгебры

Все же начиная с некоторого момента начинают требовать операд для своего понимания. Вот утверждение, которое без операд у меня не доказывается: локализация категории A_бесконечность-алгебр по строгим квазиизоморфизмам эквивалентна ее локализации по A_бесконечность-квазиизоморфизмам. Доказательство требует конструкции свободной A_бесконечность-алгебры, порожденной градуированным векторным пространством ("A_бесконечность-кобар-конструкции" для коассоциативной коалгебры).

A propos: интересно, рассматривал ли кто-нибудь бесконечность-операды? Бесконечность-операду можно было бы определить как структуру DG-кооперады на косвободной коопераде...

P.S. Напишу-ка я про это дело подробнее. Есть две категории A_бесконечность-алгебр -- категория A_бесконечность алгебр и A_бесконечность-морфизмов и категория A_бесконечность-алгебр и строгих морфизмов. Первая есть категория косвободных (если забыть дифференциал) DG-коалгебр, а вторая есть категория DG-алгебр над DG-операдой A_бесконечность. Эквивалентность этих двух теорий есть разновидность кошулевой двойственности для DG-(ко)алгебр над DG-(ко)операдами.

Аналогично, есть две DG-категории A_бесконечность-модулей над фиксированной A-бесконечность-алгеброй A -- с A_бесконечность-морфизмами и со строгими морфизмами. Первая есть DG-категория косвободных DG-комодулей над DG-коалгеброй C = Bar(A), а вторая есть категория DG-модулей над обертывающей DG-алгеброй U(A) = Cob(C). Эквивалентность этих двух теорий есть разновидность кошулевой двойственности для DG-(ко)модулей над DG-(ко)алгебрами.

Сказанное в последних двух абзацах относится к A_бесконечность-алгебрам без единицы; ненулевые A_бесконечность-алгебры со строгой единицей описываются как косвободные (если забыть CDG-структуру) CDG-коалгебры.

Если определить бесконечность-операды как структуры DG-кооперад на косвободных кооперадах, то категория бесконечность-операд и бесконечность-морфизмов между ними будет категорией косвободных (если забыть дифференциал) DG-кооперад, а категория бесконечность-операд и строгих морфизмов между ними будет описываться как?