April 5th, 2009

Контраалгебры

Бывают ассоциативные алгебры и коассоциативные коалгебры. Над первыми бывают модули, а над вторыми комодули и контрамодули. При этом конечномерные алгебры и коалгебры двойственны друг к другу, и над двойственными конечномерными алгеброй и коалгеброй, что модули, что комодули, что контрамодули, все одно и то же.

Еще бывают операды и кооперады. Над операдами бывают алгебры, а над кооперадами -- коалгебры. На самом деле, и над операдами бывают коалгебры, а над кооперадами -- алгебры. Операды и кооперады с конечномерными компонентами двойственны друг к другу, и для двух двойственных операды и кооперады P и Q с конечномерными компонентами P-алгебры совпадают с Q-алгебрами, а P-коалгебры -- с Q-коалгебрами.

Конкретнее, алгебра A над операдой P определяется набором отображений P(n)⊗A⊗n → A, алгебра A над кооперадой Q определяется набором отображений A⊗n → Q(n)⊗A, коалгебра C над операдой P определяется набором отображений P(n)⊗С → C⊗n, а коалгебра C над кооперадой Q определяется набором отображений С → Q(n)⊗C⊗n.

Но кажется, кроме всего этого можно определить еще контраалгебры над кооперадами. Контраалгебра -- это на самом деле такая алгебра с операциями бесконечного суммирования. Двойственное пространство к коалгебре C над кооперадой Q является контраалгеброй над Q.

Контраалгебра A над кооперадой Q определяется набором отображений Homk(Q(n),A⊗n) → A. Уравнение ассоциативности (или как там называется уравнение на структуры алгебр над операдами) утверждает равенство двух отображений из Hom(Q(k), Hom(Q(n1),A⊗n1)⊗ ... ⊗Hom(Q(nk),A⊗nk)) в A.

Может быть, это не совсем правильное или даже совсем неправильное определение, не знаю.