April 4th, 2009

О примерах в математике

По моему впечатлению, среди преподавателей математики на Западе, или по крайней мере в Америке, общим местом является мантра о примерах как универсальном проясняющем инструменте. Никакую теорию нельзя понять без примеров, и любую теорию можно понять, если достаточное количество примеров приводится в курсе. Другой крайностью является мнение, которое высказывал известный израильский логик Сахарон Шелах: примеры только мешают пониманию теорий, отвлекая внимание на свои специфические черты.

Моя позиция такова: примеры очень важны, но не как проясняющий инструмент. Примеры дополняют теории, мотивируют их и наполняют содержанием, но их рассмотрение не облегчает существенным образом ни разработку, ни восприятие теорий. Примеры следует включать в курсы, но не столько для иллюстрации определений, сколько как указание на возможные направления использования теорем.

В контексте курса, излагающего какую-нибудь теорию, все примеры делятся приблизительно на два типа: тривиальные примеры и глубокие примеры. Тривиальные примеры вдумчивый студент может привести самостоятельно, а менее подготовленному студенту они, может быть, помогут чувствовать себя чисто психологически более уверенно, но их в любом случае недостаточно ни для мотивировки, ни для прояснения теорий. Глубокие примеры мотивируют теории и подтверждают их содержательность, но в общем случае они ничуть не легче, а зачастую и сложнее для изучения и понимания, чем теории, в качестве примеров к которым они приводятся. Рассмотрение таких примеров не проясняет и не иллюстрирует соответствующие теории, а дополняет их.

Есть редкие исключения из этой немногообещающей в целом картины, в виде примеров одновременно более наглядных, чем общий случай соответствующей теории, и содержащих в себе ключевые элементы, с которыми теория имеет дело. Включение таких примеров в курсы действительно облегчает понимание. Хорошие преподаватели такие примеры стараются не забывать и приводить.

Update: вот другое мнение на эту тему -- http://aron-turgenev.livejournal.com/120482.html