March 9th, 2009

Еще о комодулях и контрамодулях

Контрамодули устроены сложнее комодулей во многих отношениях, особенно когда речь идет о коалгебре над полем. Всякий комодуль является объединением конечномерных; существуют контрамодули, которые даже не вкладываются в проективный предел конечномерных. Конечномерный комодуль является комодулем над конечномерной подкоалгеброй; для конечномерных контрамодулей это неверно.

Для комодулей и контрамодулей над кокольцами над кольцами разница стирается лишь отчасти. Категория комодулей (в предположении условия плоскости для кокольца) удовлетворяет аксиомам Ab5 и Ab3*, категория контрамодулей (в предположении условия проективности для кокольца) удовлетворяет только аксиомам Ab3 и Ab4*. В категории комодулей (в предположении условия плоскости) есть множество образующих; непонятно, есть ли в категории контрамодулей множество кообразующих (уже для контрамодулей над коалгеброй над полем непонятно).

Тем не менее, по крайней мере в двух отношениях контрамодули оказываются проще комодулей. Во-первых, в категории контрамодулей над произвольным кокольцом есть произвольные коядра и прямые суммы (теорема Барра); для комодулей и ядер + прямых произведений это известно только при условии плоскости.

Во-вторых, как теперь выясняется, производная категория DG-контрамодулей над DG-коалгеброй C (над полем) эквивалентна минимальной полной подкатегории в гомотопической категории, содержащей DG-контрамодуль Hom_k(C,k) и замкнутой относительно прямых сумм. Аналогичное утверждение для производной категории DG-комодулей, DG-комодуля C, и прямых произведений доказать не удается.

Доказательства обоих последних результатов используют теоретико-множественные методы (контроль мощности и т.п.).