March 6th, 2009

Математико-психологическое

Важнейшими результатами абстрактной теории категорий являются общие теоремы существования представляющих объектов и, соответственно, сопряженных функторов. Совсем другие, но аналогичные теоремы существования имеются в абстрактной теории триангулированных категорий.

Теорию категорий я люблю. Неконструктивными процедурами, сильно повышающими мощность множеств, охотно пользуюсь, например, в контексте построения инъективных резольвент модулей над произвольными кольцами. Почему же меня так смущают и пугают эти теоремы существования функторов, особенно в применении к конкретным интересующим меня категориям?

К этому можно добавить, что теорема Гротендика о существовании инъективных объектов, основанная на трансфинитной индукции, смущает почему-то гораздо сильнее, чем явные конструкции инъективных объектов, использующие бесконечные произведения. Вообще все теоретико-категорные вопросы, упирающиеся в различие между множеством и классом, сильно огорчают почему-то.

Видимо, это психологический порог, связанный с уровнями абстракции. Объекты и морфизмы хочется рассматривать произвольные, категории и функторы -- конкретно заданные.