February 16th, 2009

Почти-инволюция на CDG-алгебрах и DG-категориях

Попробую, разнообразия ради, написать что-то математическое так, чтобы это было понятно не только мне.

CDG-кольцо -- это градуированное кольцо с нечетным дифференцированием d степени 1 и элементом h степени 2, таким что d2(x) = [h,x] для любого x из кольца и d(h)=0. CDG-модуль над CDG-кольцом -- это градуированный модуль с дифференцированием, согласованным с дифференцированием кольца, таким что d2(x) = hx для любого x из модуля -- это если модуль левый, для правого модуля формула имеет вид d2(x) = -xh. Таким образом, на CDG-кольце нет естественной структуры CDG-модуля над самим собой, но есть естественная структура CDG-бимодуля, в очевидном смысле.

CDG-модули образуют DG-категорию: на морфизмах CDG-модулей, суперкоммутирующих с действием кольца, но не обязательно согласованных с дифференциалами, есть структура комплекса. Если DG-модули представляют собой типичный пример DG-категории, снабженной забывающим функтором в категорию комплексов, то CDG-модули -- типичный пример DG-категории, на которой такой забывающий функтор не задан.

Пусть M -- многообразие (гладкое или аффинное алгебраическое), E -- расслоение на M, и ∇ -- глобальная связность на E. Тогда на алгебре Ω дифференциальных форм на М c коэффициентами в расслоении эндоморфизмов End(E) возникает структура CDG-алгебры: дифференцирование d есть де Рамовский дифференциал, задаваемый связностью на End(E), индуцированной связностью на Е, элемент h -- кривизна связности ∇. CDG-модули над CDG-алгеброй Ω тесно связаны (относительной кошулевой двойственностью) с модулями над кольцом дифференциальных операторов, действующих на сечениях E.

Так все это хорошо, но образующими дифференциальных операторов являются векторные поля, и связь между векторными полями и дифференциальными формами подразумевает дуализацию (переход к двойственному конечно-порожденному проективному модулю) над базовым кольцом сечений расслоения End(E). Опыт работы с кошулевой двойственностью показывает, что перехода к двойственному векторному пространству следует избегать. Технически правильным объектом является CDG-коалгебра, а не CDG-алгебра. Но прямо в лоб дуализировать CDG-алгебру де Рама не получится. Конечно, можно перейти к двойственному модулю над кольцом сечений End(E) и рассмотреть кокольцо поливекторных полей (с коэффициентами в эндоморфизмах) над кольцом эндоморфизмов. Но дерамовский дифференциал нелинеен над функциями, и на поливекторных полях никакого дифференциала нет.

Задача состоит, таким образом, в том, чтобы дерамовский дифференциал линеаризовать -- перейти от CDG-алгебры де Рама к какому-то объекту, полноценно линейному над кольцом функций или эндоморфизмов расслоения. Для этого применяется следующая конструкция, сопоставляющая CDG-кольцу ацикличное DG-кольцо. Ацикличное здесь значит -- совсем ацикличное, с нулевым кольцом когомологий (т.е., где единица равна нулю).

Пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо. Представим дифференцирование d в виде коммутатора с новой образующей -- присоединим к B элемент δ с соотношениями [δ,x] = d(x) для x из B и δ2 = h. Обозначим полученное кольцо через B~. На кольце B~ есть новое нечетное дифференцирование ∂ = ∂/∂δ, определяемое условиями ∂(δ) = 1 и ∂(B) = 0. CDG-кольцо B с точностью до CDG-изоморфизмов (соответствующих заменам связности ∇) восстанавливается по DG-кольцу B~; в частности, само кольцо B восстанавливается, как ядро=образ ∂. Эта конструкция решает нашу задачу: применив ее к CDG-алгебре Ω, мы получим DG-алгебру Ω~ с дифференциалом, линейным над кольцом эндоморфизмов; на кокольце над эндоморфизмами, двойственном к Ω~, будет кодифференцирование, двойственное к ∂. Более того, рассматривая Ω~ вместо Ω, мы избавляемся от необходимости выбирать связность.

Если пользоваться этой конструкцией, то с CDG-модулями над (B,d,h) надо работать в терминах B~. В принципе, это вполне возможно: в частности, CDG-модуль над (В,d,h) есть градуированный модуль без дифференциала над B~ (дифференциальные B~-модули соответствуют стягиваемым CDG-модулям над (B,d,h)). Комплекс морфизмов между CDG-модулями состоит из отображений, суперкоммутирующих с ядром ∂, содержащимся в B~, отображения же, суперкоммутирующие со всем B~, суть замкнутые морфизмы. На практике все это получается сильно контринтуитивно и в конце концов увязает в странных технических трудностях.

Вот новая идея, ради которой написан этот постинг: конструкцию DG-алгебры B~ можно проитерировать, перейдя к DG-алгебре B~~. Тогда категория CDG-модулей над B оказывается эквивалентной категории DG-модулей над ацикличной DG-алгеброй B~~. То есть эта странная конструкция, сопоставляющая CDG-алгебре ацикличную DG-алгебру (казалось бы, представитель гораздо более узкого класса объектов), на уровне DG-категорий (C)DG-модулей ведет себя как инволюция. Эта инволюция переставляет категорию (C)DG-модулей над (C)DG-алгеброй и замкнутых морфизмов и замкнутых морфизмов между ними с категорией градуированных модулей над градуированной алгеброй, подлежащей (C)DG-алгебре.

В общности DG-категорий, эта конструкция выглядит так: DG-категории D сопоставляется DG-категория D~. Объекты D~ суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией t, равной нулю в квадрате. Морфизмы между объектами D~ суть замкнутые морфизмы между объектами D, не обязательно коммутирующие с гомотопиями t; коммутатор с t определяет дифференциал на морфизмах в D~. Если в DG-категории D есть сдвиги и (конечные) прямые суммы объектов, то в DG-категории D~ есть не только сдвиги и (конечные) прямые суммы, но и конуса (более того в DG-категории D~ всегда существуют произвольные скручивания объектов с помощью эндоморфизмов, удовлетворяющих уравнению Маурера-Картана). Если в DG-категории D существуют произвольные скручивания на эндоморфизмы Маурера-Картана, а категория Z0D замкнутых морфизмов в D содержит образы идемпотентных эндоморфизмов, то DG-категория D~~ эквивалентна исходной DG-категории D. Эта почти инволюция на DG-категориях приблизительно переставляет местами категории замкнутых морфизмов и "градуированных объектов без дифференциалов".

На уровне гомотопических категорий эта DG-категорная почти инволюция не действует. Например, DG-категории комплексов векторных пространств она сопоставляет некоторую DG-категорию, в которой все объекты стягиваемы (а той -- обратно DG-категорию векторных пространств, как следует из сказанного выше).