February 14th, 2009

Вопрос про коалгебры

В известном, вполне определенном смысле все коалгебры (над полями) нетеровы (класс инъективных комодулей замкнут относительно бесконечных прямых сумм). Можно ли сформулировать, в каком смысле все они также артиновы? (Класс проективных контрамодулей замкнут относительно прямых произведений, разумеется, но аналогичное свойство колец еще не влечет артиновости, хотя следует из нее.)

О дарвинизме, агностическое

Я ничего не имею против биологов, но меня раздражают атеисты, и возмущают эдьюкейторы. По последнему пункту уже немало было сказано ранее, а что касается атеистов, то тут все просто. Можно выделить, грубо, два класса аргументов в пользу любой научной теории:

- Теория позволяет делать нетривиальные предсказания, которые подтверждаются, и применения этой теории в других областях науки демонстрируют свою продуктивность.
- При любых проблемах, связанных с теорией, она остается лучшим из существующих решений той проблемы, которую она призвана решать.

Первый подход предполагает возможность возражений, включая указания на неподтверждающиеся предсказания и непродуктивные применения. Второй подход возражений не требует, поскольку сам по себе означает капитуляцию. Едва ли пользоваться ложной теорией лучше, чем не пользоваться никакой.

Навеяно публикациями:
http://users.livejournal.com/yegor_/31245.html
http://www.polit.ru/lectures/2008/04/24/gelfand.html

Точные DG-категории - 3

В предыдущих двух постингах на эту тему -- http://posic.livejournal.com/267121.html и http://posic.livejournal.com/266292.html -- обнаружились существенные ошибки; я не буду их удалять или редактировать, но уберу под кат, с нынешним предостережением, что воспринимать их буквально нельзя. Идея там, конечно, правильная, но определение категорий D## и D### неправильное. Дело в том, что если B -- CDG-кольцо и M -- градуированный модуль (без дифференциала) над B, то CDG-модуль над B, свободно порожденный M, рассмотренный как градуированный модуль (без дифференциала) над B, вовсе не является прямой суммой M и сдвига M, как я думал. Там возникает нетривиальное расширение, которое тривиализуется в случае, когда M допускает структуру CDG-модуля над B.

Задача, которую призвано решать определение категории D##, проста: восстановить категорию градуированных модулей над B по категории CDG-модулей над B. Правильное определение вот какое: пусть D -- DG-категория с конусами и сдвигами. Тогда объекты D## суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией, равной нулю в квадрате. Морфизмы в D## суть замкнутые морфизмы в D, коммутирующие с заданными стягивающими гомотопиями. Функтор Z^0D -> D##, определенный правилом X -> cone(id_X)[-1], естественным образом факторизуется через естественный функтор D -> D#; получающийся функтор D# -> D## вполне строгий. Функторы D## -> Z^0D, сопряженные к функтору Z^0D -> D## слева и справа, задаются формулами G^+: (X,t) -> X и G^-: (X,t) -> X[1], соответственно, где t -- наша стягивающая гомотопия. Все функторы выше сохраняют бесконечные прямые суммы и произведения.

Collapse )

Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).

Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?