January 16th, 2009

Лениво размышляя об обобщениях тейт-лиевской полубесконечной теории

1. Понятие топологического алгеброида Ли над топологической коммутативной алгеброй вроде бы есть, но какие из них должны считаться тейтовскими, неведомо. Да и ассоциативная полубесконечная теория не работает для трехэтажных башен типа "полуалгебра над коалгеброй над топологической алгеброй", которые бы здесь возникали.
2. Понятие тейтовского модуля над обыкновенным кольцом есть, даже и не обязательно нетеровым. (Нельзя ли распространить это дело с про-аффинных схем проконечного типа на инд-про-аффинные схемы инд-про-конечного типа?) Предположительно, можно было бы определить и тейтовские алгеброиды Ли. Но ассоциативная полубесконечная теория все равно работает только для базовых колец конечной гомологической размерности. Единственные примеры последних, которые приходят в голову, соответствуют гладким конечномерным нетеровым аффинным схемам. Но для таких векторные поля являются конечно-порожденным модулем над кольцом функций, так что, с точностью до конечно-порожденного модуля, такой тейтовский алгеброид Ли сводился бы к тейтовской алгебре Ли над кольцом.
3. На тейтовские алгебры Ли над коммутативными нетеровыми кольцами конечной гомологической размерности теорию, может быть, и можно обобщить, хотя не факт. Только хлопот будет много, а радости -- не так уж.

Слабые A_\infy-коалгебры = CA_\infty-коалгебры

интересны тем, что для них можно построить комодульно-контрамодульное соответствие.

По определению, структура слабой A-коалгебры на градуированном векторном пространстве C -- это структура DG-алгебры на свободной градуированной алгебре с единицей, порожденной C[-1]. Отметим, что A-коалгебры в широком смысле -- см. http://posic.livejournal.com/250703.html -- не являются слабыми A-коалгебрами, но A-коалгебры в узком смысле являются.

(Гомотопическая) категория слабых A-комодулей над слабой A-коалгеброй C и слабых A-морфизмов между ними определяется как (гомотопическая) категория свободных, если забыть дифференциал, DG-модулей над соответствующей DG-алгеброй. Аналогичная категория контрамодулей определяется как аналогичная категория косвободных модулей. Все это относится к коаугментированным = некоунитальным коалгебрам и ко/контрамодулям над ними; коунитальные некоаугментированные слабые A-коалгебры и ко/контрамодули соответствуют таким же CDG-алгебрам и модулям.

Теперь, гомотопические категории свободных и косвободных CDG-модулей над свободной, если забыть дифференциал, CDG-алгеброй эквивалентны копроизводной = контрапроизводной категории CDG-модулей, и следовательно, эквивалентны между собой. В случае, когда A-коалгебра C сводится к CDG-коалгебре, эта копроизводная = контрапроизводная категория CDG-модулей эквивалентна также копроизводной категории CDG-комодулей над C = контрапроизводной категории CDG-контрамодулей над C.

Ср. http://posic.livejournal.com/240026.html

Антибюрократическое

По итогам обсуждений на банкете после той же конференции.

При написании документов типа заявок на гранты или отчетов (а равно, добавлю я, рецензий и отзывов и т.п.) вовсе не обязательно строго выполнять инструкции соответствующих организаций. Вместо того, чтобы следовать предлагаемым или сложившимся образцам написания документов, можно создавать новые образцы.

Это относится, разумеется, к документам, которые рассматриваются как содержательные; на пустые и бессмысленные требования можно отвечать отписками. То есть -- вопрос точки зрения (отношения к организации, с которой происходит взаимодействие, и т.п.).