January 3rd, 2009

Tor^II (essentially after Husemoller--Moore--Shasheff)

Пусть B=(B,d,h) -- CDG-кольцо, N и M -- правый и левый CDG-модули над B. Тогда группы TorII,Bn(N,M) определяются следующим образом. Выбирается резольвента N <- F_0 <- F_1 <- ... CDG-модуля N, состоящая из CDG-модулей F_i, являющихся плоскими градуированными модулями над градуированной алгеброй B (если забыть дифференциалы). Резольвента должна быть точной как комплекс CDG-модулей (или, что все равно, как комплекс градуированных модулей). После этого строится бикомплекс F_i⊗BM и рассматривается его тотальный комплекс, образованный с помощью взятия прямых произведений вдоль диагоналей (в то время как тензорное произведение CDG-модулей, понятно, подразумевает взятие прямых сумм вдоль диагоналей). Гомологии этого комплекса и есть искомые группы TorII. Они не зависят от выбора резольвенты F; кроме того, если разрешать CDG-модуль M вместо N, или сразу оба CDG-модуля, получаются такие же гомологии.

Смысл этой конструкции в общем случае вполне загадочен. Разумеется, TorII аннулирует CDG-модули, получающиеся как тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей, но большего вроде бы не скажешь. Ни с прямыми суммами, ни с прямыми произведениями CDG-модулей функтор TorII, похоже, не согласован. В случае, когда кольцо B имеет конечную слабую гомологическую размерность, можно ограничиться конечными резольвентами F и обойтись без бесконечных произведений. В этом случае, TorII,B сохраняет бесконечные прямые суммы и совпадает с естественным образом определенным производным функтором тензорного произведения на декартовом произведении копроизводных=контрапроизводных категорий левых и правых CDG-модулей над B. В случае, когда кольцо B и модули N, M одновременно ограничены сверху или снизу по гомологическим градуировкам, тензорное произведение уже не подразумевает взятия бесконечных прямых сумм и TorII сохраняет бесконечные произведения. Видимо, в этом случае его можно естественно интерпретировать как некий производный функтор для CDG-модулей над CDG-алгеброй в категории про-абелевых групп.