August 29th, 2003

Группы Галуа и косы (век живи, век учись...)

1. Абсолютная группа Галуа произвольного поля, содержащего поле алгебраических чисел, естественным образом вкладывается в проконечную группу крашеных кос с бесконечным числом нитей (точнее, проективный предел проконечных пополнений дискретных групп крашеных кос; нити нумеруются элементами поля).

(Абсолютная группа Галуа -- это группа Галуа алгебраического замыкания. Крашеные косы -- это то, что по-английски называется "pure braids"; в общем, ядро отображения кос в перестановки. Проективный предел берется по отображениям выкидывания нитей.)

2. Всякий гомоморфизм из абсолютной группы Галуа произвольного поля, содержащего поле алгебраических чисел, в группу перестановок поднимается до гомоморфизма в проконечное пополнение группы кос. (Здесь косы с конечным числом нитей и некрашеные, разумеется.)

Доказательства очень простые, то есть прямо совершенно банальные (особенно второе). Теперь бы еще понять, известны ли науке эти утверждения и что из них следует.

Важный вопрос: не свободен ли часом коммутант (обыкновенной дискретной) группы крашеных кос? Для трех нитей это верно, и для четырех мне пока не удалось опровергнуть это предположение.

Update: нет, коммутант, конечно, не свободен. Коммутант крашеных кос с n+m нитями содержит прямое произведение таких же коммутантов с n и с m нитями.