Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Предотъездный угар (рефлексия) - 4

Как теперь ясно постфактум, работа, остававшаяся на протяжении многих лет (а может быть, и сейчас остающаяся) важнейшей работой моей жизни, была уже почти сделана к осени 2002 года. Но это "почти" было трудно преодолеть. Речь идет о работе по полубесконечной гомологической алгебре, которая была в итоге написана во второй половине 00-х и вышла из печати в виде толстой монографии. По состоянию на момент времени, о котором идет речь, она существовала в виде двух серий писем, адресованных Сереже Архипову и Роме Безрукавникову и написанных летом 2000 и летом 2002 годов.

Собственно, вопросом, который я мучительно решал на протяжении нескольких лет в середине 00-х годов было -- какая из двух основных тематик моих тогдашних интересов должна была стать главной, мотивы с конечными коэффициентами (когомологии Галуа, и т.д.) или экзотические производные категории (полубесконечные когомологии, и т.д.)?

С октября 2002 по сентябрь 2003 я был визитором в Институте Макса Планка в Бонне, и когда мне предложили в январе сделать доклад на большом институтском семинаре про гипотезу Милнора-Блоха-Като и т.д., я сказал, что расскажу лучше про полубесконечные когомологии. В результате я выступал перед на три четверти пустым залом, слушать про полубесконечные гомологии ассоциативных алгебр почти никто не пришел, но Фальтингс пришел.

Доклад получился несколько скомканным, как нередко бывало у меня в те годы, но одна из вещей, которую я подчеркивал -- это что рассказываю я про некоторое определение; ничего, кроме определения, собственно, пока и нет. В конце Фальтингс спросил -- ну, хорошо, а эта ваша теория полубесконечных голомологий ассоциативных алгебр дает нужный ответ для алгебр Ли? Этого я не знал. Собственно, я и сам понимал, что без такой теоремы сравнения эта моя работа остается совсем не сделанной. Но и Фальтингс был, насколько я понял, того же мнения.

Другим основным результатом этой работы, о котором я мог бы рассказывать в каких-нибудь аудиториях, была теорема о производном полумодульно-полуконтрамодульном соответствии. Но и она оставалась к тому времени еще не доказанной, поскольку доказательство ее, изложенное в моих письмах 2002 года, зависело от некой технической гипотезы (доказать которую мне удалось только весной-летом 2006).

Уже перед самым отъездом в Москву, в сентябре 2003 года, я все-таки согласился и про гипотезу Блоха-Като рассказать на большом семинаре в Максе Планке, и этот мой доклад прошел на ура при битком набитом зале. Но дело-то было не в этом, а, собственно, в том, что что-нибудь новое сделать в этой области у меня получалось лишь изредка, и как основной предмет для постоянных занятий она мне не подходила.

Промучившись на эту тему несколько лет, как-то в один из дней в конце октября 2006 года я начал думать о том, как бы поженить науку про полубесконечные (ко)гомологии ассоциативных алгебр как теорию когомологий для алгебр над коалгебрами ("полуалгебр"), излагавшуюся в моих письмах к Роме и Сереже -- с более классическим сюжетом про коалгебры над алгебрами ("кокольца"), про которые существовала некоторая литература. Нельзя ли сделать для коколец то, что делалось для полуалгебр в моих письмах? Нельзя ли надстроить одно над другим, развив науку про трехэтажные конструкции -- полуалгебры над кокольцами над кольцами?

Эта технически трудная задача с многочисленными деталями, требовавшими внимательного прописывания, послужила мне мотивацией для того, чтобы перестать валять дурака и начать записывать и обнародовать мои многочисленные результаты, накопившиеся за десять-пятнадцать лет. Многолетний бэклог был расчищен только к концу лета 2010 года.

Уже по ходу написания моей толстой книжки по полубесконечной гомологической алгебре, в 2007-08 годах нам с Сережей удалось разобраться с теоремой сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли. Доказательство вошло в итоговую монографию, вышедшую из печати в сентябре 2010 года, в виде приложения с нашим совместным авторством.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments