Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Левое и правое

Между прочим, мне иногда везет. Как многие слыхали (я, например -- еще будучи школьником, от Ю.П. Размыслова), все люди в теории некоммутативных колец делятся на "левых" и "правых". В смысле, тех, для кого слова "модуль над кольцом" означают по умолчанию -- левый модуль, и тех, для кого этот модуль правый.

Вопрос связан с тем, с какой стороны от аргумента писать функцию -- f(x) или (x)f, с известной проблемой контринтуитивности обозначений для композиции отображений, и т.д. В целом, как я понимаю, история некоммутативной алгебры сложилась так, что более старорежимные люди предпочитают правые модули, а испытавшие больше современных влияний -- левые. Условно говоря, можно ожидать, что алгебраист с мехмата МГУ будет писать элементы кольца справа от элементов модуля, а алгебраист с матфака ВШЭ -- слева.

В Праге модули по умолчанию правые. Для меня модули по умолчанию левые.

Так или иначе, в классической монографии Бо Стенстрёма про некоммутативные кольца частных предпочитаются правые модули. Рассматриваются топологии Габриэля, состоящие из правых идеалов, каждому правому модулю сопоставляется его модуль частных относительно такой топологии, и т.д. Произвольная категория Гротендика представляется в виде факторкатегории категории правых модулей над ассоциативным кольцом по локализующей подкатегории модулей кручения относительно такой топологии, и т.д. Конечно, там встречаются и левые модули (например, совершенным топологиям Габриэля правых идеалов соответствуют плоские слева эпиморфизмы колец), но правых больше.

В оригинальной диссертации Габриэля, как я сейчас погляжу, использовалась та же конвенция -- конструкция локализации применяется к правым модулям. Но Бурбаки, вставившие конструкцию некоммутативной локализации в упражнения к своей книге по коммутативной алгебре, написали ее для левых модулей.

Я еще в 2000-02 и 2006 годах, начиная писать про контрамодули над коалгебрами, полуалгебрами, кокольцами и т.д., принял конвенцию, что комодули могут быть как левыми, так и правыми, но контрамодули практически всегда левые. На самом деле, в этой науке нередко нужно рассматривать бикомодули (левые над одной коалгеброй и правые над другой, или даже над той же самой одновременно); но биконтрамодули, кажется, никогда не встречаются.

В 2007-08 годах у меня появились левые контрамодули над топологическими кольцами. Для того, чтобы их определение имело смысл, кольцо должно иметь базу топологии, состоящую из правых идеалов. Наряду с левыми контрамодулями, над таким кольцом имеет смысл рассматривать правые дискретные модули (они же модули кручения -- грубо говоря, примерно то же самое, что комодули).

Десять лет прошло, длинный ряд текстов про (естественно, всегда левые) контрамодули я постепенно понаписал за эти годы. Наконец, и конструкция некоммутативной локализации из книжки Стенстрёма привлекла к себе мое внимание. И -- ура! Там топологии правых идеалов, и у меня топологии правых идеалов. Там правые модули кручения, и у меня дискретные правые модули. Моя конвенция про левое и правое оказалась совместима с классической!

А что у классиков не было контрамодулей (ни правых, ни левых), так у меня зато они есть.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 6 comments