Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Контрамодули и делимые модули над конечно-порожденными идеалами

Пусть R -- коммутативное кольцо и I ⊂ R -- конечно-порожденный идеал в R. R-модуль D называется I-делимым, если R/I ⊗R D = 0 (т.е., попросту, ID = D). R-модуль C называется I-контрамодулем, если он является s-контрамодулем для всех s ∈ I (достаточно проверить это условие для любого множества образующих I, или даже для любого множества образующих какого-нибудь идеала в R, радикал которого содержит I).

Интересующая нас лемма -- это вариант леммы 4.2 из статьи Contraadjusted modules, contramodules, ... (Moscow Math. J. 2017). Доказательство ниже альтернативно доказательству, намеченному в статье.

Лемма. Если R-модуль D I-делим, а R-модуль C является I-контрамодулем, то HomR(D,C) = 0.

Доказательство. Заметим, что пересечение любого семейства подмодулей C, являющихся I-контрамодулями -- тоже I-контрамодуль (потому, что пересечение подмодулей -- это ядро морфизма в произведение фактормодулей, а класс всех I-контрамодульных R-модулей замкнут относительно ядер, коядер и произведений).

Пусть f: D → C -- R-модульный морфизм. Обозначим через C' ⊂ C пересечение всех I-контрамодульных подмодулей C, содержащих im(f). Тогда C' -- тоже I-контрамодульный R-модуль, и мы имеем R-модульный морфизм f': D → C'.

Подлемма (I-контрамодульная лемма Накаямы). Для любого ненулевого I-контрамодульного R-модуля K, его фактор(контра)модуль K/IK тоже ненулевой.

Доказательство подлеммы: пусть s1, ..., sm -- какое-нибудь множество образующих идеала I. Тогда из того, что K -- ненулевой sm-контрамодуль, следует, что R-модуль K/smK ненулевой. Этот R-модуль является контрамодулем для идеала, порожденного s1, ..., sm−1 в R (и даже для идеала I, конечно, тоже, но это нам уже не нужно), и остается использовать индукцию по m.

Теперь мы можем закончить доказательство леммы. Рассмотрим композицию морфизмов D → C' → C'/IC'. Имеем HomR(D,B) = HomR(D/ID,B) = 0 для любого R/I-модуля B. Поэтому композиция наших двух морфизмов равна нулю, т.е., образ морфизма f' содержится в IC'. Но IC' является I-контрамодулем как ядро морфизма I-контрамодулей C' → C'/IC' (любой R/I-модуль является I-контрамодулем, разумеется). Поскольку C' не имеет собственных I-контрамодульных R-подмодулей, содержащих образ f', отсюда следует, что IC' = C'. Согласно подлемме, мы заключаем, что C' = 0, откуда f' = 0 и f = 0.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments