Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Лемма о подъеме идемпотентов по модулю ниль-идеала

Правда, поразительное доказательство -- второе по ссылке https://stacks.math.columbia.edu/tag/00J9 ? Такое впечатление, что его придумали в какую-то другую эпоху, от нас очень далекую. Откуда взялись эти формулы, со всеми этими двойками, тройками, четверками? Как такое можно придумать, исходя из чего? Почему никто этого не объясняет?

Это -- очень хорошее доказательство. Авторов Stacks Project по ссылке интересует случай коммутативного кольца, но это доказательство никакой коммутативности не использует, конечно. (Точнее сказать, коммутативность не используется в интересующей нас части рассуждения по ссылке, касающейся существования подъема -- единственности нет в некоммутативном случае.)

Поиск на "lifting idempotents modulo nil ideal" выводит на разные рассуждения, такие как, например, http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/idempotent.pdf . Это второе доказательство на первый взгляд кажется лучше -- прозрачнее, все формулы более-менее очевидные и никаких недоуменных вопросов не вызывают. Легче придумать, легче запомнить.

Но на самом деле лучше доказательство по первой ссылке, с загадочными формулами. Потому, что в нем нет произвольного выбора момента остановки процесса. Зависимости от показателя нильпотентности нет. Просто -- однозначно определенный, сходящийся итерационный процесс, дающий "канонический", функториальный ответ. Автоматически согласованный с гомоморфизмами колец, и легко обобщаемый на случай топологического кольца с топологически-ниль идеалом, например.

То же доказательство (с теми же странными формулами, слегка по-другому записанными) обнаруживается в Proposition 10.3.1 на странице 233 в книжке Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko "Algebras, Rings and Modules" vol.1, Kluwer, 2004. Жалко, что никто не цитирует оригинальный первоисточник. Кто это придумал-то? Интересно же.
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments