Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Мысля

Кто-нибудь когда-нибудь может написать книжку под заголовком "Контрпримеры и парадоксы в гомологической алгебре". По образцу "контрпримеров в анализе" и "парадоксов теории вероятностей". Возможные сюжеты из круга моих интересов:

- контрпримеры в теории алгебр с образующими и соотношениями (от алгебр с "плохими" рядами Гильберта и Пуанкаре до невозможности определить кошулевость по паре рядов Гильберта двух двойственных квадратичных алгебр);

- ошибка Руса, с контрпримером в виде категории контрамодулей над целыми p-адическими числами (и выводом, что у этой категории нет множества кообразующих);

- неполнота теорий кокручения, порожденных малыми множествами объектов, в локально представимых абелевых категориях без инъективных/проективных объектов;

- неограниченные комплексы проективных/инъективных объектов, градуированно проективные/инъективные DG-модули, и разница между производными категориями первого и второго рода;

- двусторонние производные функторы сбалансированных функторов двух аргументов, их зависимость от отношения эквивалентности на комплексах;

- гомотопическая категория искривленных DG-модулей над искривленной DG-алгеброй, и несовместимость CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов DG-алгебр (любые две DG-алгебры над полем можно связать цепочкой преобразований, некоторые из которых -- CDG-изоморфизмы, а другие -- квазиизоморфизмы);

- искривленные DG-алгебры, искривленные A-алгебры и Kontsevich-Positselski vanishing

(бонус-трэк: модульная категория, связанная со слабо искривленной DG-алгеброй, уже совпадает с категорией, связанной с ней же как слабо искривленной A-алгеброй -- и при этом все равно может вдруг занулиться! -- но не обязана, и, вообще говоря, совершенно нетривиальна -- в отличие от ситуации с обычной искривленной A-алгеброй, модульная категория которой тривиальна всегда, да и сама такая алгебра тоже);

- обычная производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй может измениться при замене DG-коалгебры на квазиизоморфную (в отличие от ситуации с DG-кольцом);

- неотделимые контрамодули и парадокс ненулевой суммы ряда с нулевыми членами

(бонус-трэк: нефакторотделимые, в смысле nonquotseparated, контрамодули над ненетеровыми коммутативными кольцами с не-слабо-прорегулярными конечно-порожденными идеалами, и две естественные абелевы категории контрамодулей, вложенные одна в другую);

- нарушение теоремы локализации Томасона-Трубо для локально свободных матричных факторизаций (в отличие от локально свободных пучков);

- гомотопически инъективный комплекс квазикогерентных пучков на нетеровой схеме перестает быть таковым после ограничения на открытую подсхему

(бонус-трэк: и поэтому экстраординарный обратный образ Хартсхорна-Делиня не является функтором между обычными неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков, а только между копроизводными категориями -- зато между копроизводными категориями не действует обычный производный обратный образ);

- локально контрагерентный копучок может не быть контрагерентным.

Что-нибудь еще (возможно, не из круга моих интересов...) ?
Tags: math11
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments