Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Письмо о математике

(поводом к которому послужил интерес к фразе, что "целью моих действий является улучшение состояния математики через 50 лет").

"Говоря о состоянии математики, я имею в виду, прежде всего, свою родную область (гомологическую алгебру). Мне кажется, что она довольно важная и осевая, в каком-то смысле (в масштабах математики в целом).

Можно сказать, что гомологическая алгебра пала жертвой собственного успеха. Еще 50 или, может быть, даже 30 лет назад, производные категории и т.д. были эзотерическими понятиями, труднодоступными для непосвященных. Потом произошла некая радикальная демократизация.

В результате, как я вижу, имеется огромное количество людей, воспринимающих гомологическую алгебру как закрытый список трюизмов или базовых идеологем, или, можно сказать, несложную грамматику, по правилам которой можно строить конструкции и утверждения, почти не задумываясь над тем, что они означают. Все словосочетания, построенные по грамматическим правилам, примерно одинаково осмысленны. Все формулировки теорем, грамматически похожие на известные теоремы, верны или почти верны, и доказываются так же.

Ничего по-настоящему нового в этом мире открыть нельзя, т.к. места для новых фундаментальных идей в рамках гомологической алгебры в головах носителей этого мировоззрения не предусмотрено в принципе. Но время от времени заявляется кто-нибудь с парой относительно свежо звучащих словосочетаний и несколькими теоремами-доказательствами, такие словосочетания содержащими. Такие люди считаются создателями новых теорий.

***

Если посмотреть шире, сейчас любят говорить о разнице между "решателями задач" и "строителями теорий" в математике. При этом претензии на доказательство гипотез поддаются хотя бы какой-то обработке в социальном плане. Примерно понятно, что значит, что кто-то решил задачу, простоявшую открытой сколько-то там лет, которую кто-то там раньше пытался и не смог полностью решить, и т.д. Примерно понятно, что значит развернуто изложить ключевые идеи какого-то доказательства в том или ином формате. Примерно понятно, что значит убедительно опровергнуть то или иное доказательство.

Социального механизма оценки качества теорий похоже, что никакого нет. Осуществимы простейшие стратегии: обнаружить "проблему", написать несколько работ, с разных сторон ее обсуждающих, предложить частичное решение "проблемы", подать статью про это в престижный журнал. Понимания чего бы то ни было, тем более, нового понимания, во всем этом может содержаться очень немного.

Можно годами писать статьи на какую-то тему и слыть корифеем, не понимая там простейших, фундаментальных вещей. Отсутствие понимания обнаруживается, оставшиеся незамеченными фундаментальные факты демонстрируются -- и человеку не стыдно. Его теоремы приблизительно верны, и этого достаточно. Доказательство с логической дырой признается ошибочным. Теория с дырами в понимании не признается халтурной.

Более совестливому человеку может быть даже и стыдно, но это все равно не помогает. Человек делает почти одновременно две работы о тесно связанных между собой вещах -- и не видит связи. Обе работы много выиграли бы, если бы связь была замечена. Но две грамматические конструкции непохожи одна на другую; связь между ними являет собой новый трюизм, а не один из старых. Открытие новых трюизмов нам не по силам. По большей части, не по силам даже восприятие уже открытых и прописанных кем-то новых трюизмов.

***

По улицам бодро шагают люди с плотно закрытыми глазами. Вид у многих из них вполне солидный, и вот к ним присоединяются другие, и шагают за ними следом, точно так же закрыв глаза. Гуляющие с открытыми глазами проигрывают соревнование по эффективности, в смысле скорости ходьбы.

Одна из причин происходящего, очевидно, в том, что на этих улицах слишком много людей, которым там скучно и не на что смотреть. Вероятно, им следовало бы прогуливаться по каким-то другим улицам.

Независимо от этого, в целом видны только два исхода. Либо на этих улицах обнаружатся какие-то деревья, или там, столбы, об которые эти шагающие с закрытыми глазами порасшибают себе лбы. Тогда они, быть может, приоткроют глаза и задумаются о чем-то. Либо мы в итоге увидим толпу, бодро марширующую прямиком в пропасть.

***

С чисто теоретической точки зрения, корректность математического доказательства -- очень простое понятие, поддающееся формализации. Понятие "понимания" или "качества понимания" неформализуемо.

Социально имплементировать его на уровне простановки рецензентом оценок рецензируемой статье за количество и качество нового понимания вряд ли удастся. Хотя, на самом деле, почему?

Потому что рецензент -- такой же несовершенный человек, как и автор. Проблема носит нравственный характер. Заниматься математикой следовало бы людям, у которых в мотивации доминирует стремление к пониманию предмета, а не к извлечению жизненных благ из статуса ученого.

Теоретически понятно, что нравственные нормы, в чем бы они ни состояли, должны поддерживаться как бы с двух сторон. С одной стороны, должна быть проповедь нравственных ценностей и высокие образцы служения им. С другой стороны, нарушители должны наказываться.

Понятно, что математика как предмет способна за себя постоять. На это можно полагаться смело.

Но математика как деятельность, которой занимаются в ту или иную эпоху люди -- может существовать или не существовать. Знание без понимания не имеет смысла. Социальный инстутут, функционирующий под девизом "все доказать, и ничего не понять" -- скоро перестанет функционировать.

Если математики больше не любят математику -- математика найдет способ избавить себя от таких математиков. В крайнем случае, от всех сразу.

***

Хотелось бы снова научить людей удивляться -- тех из них, кому в принципе это интересно. Хотелось бы, чтобы люди заметили, что список трюизмов и идеологем всегда открыт. Что истинность утверждения -- не грамматический вопрос, и т.д. Так это выглядит с позиции гомологического алгебраиста.

Хотелось бы, чтобы те, кто в самом деле предпочитает маршировать по нашим улицам с закрытыми глазами, по кратчайшим направлениям к деньгам и славе, -- повстречались лбами со своими столбами. Лучше раньше, чем позже.

Вообще, видимо, должна быть некая борьба между стремлением к ясности и стремлением к глубине. Взаимодействие этих двух течений должно выводить все и всех на чистую воду.

Примерно так мне это видится."
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments