Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Теорема Габриэля-Попеску для категорий контрамодулей

Пусть A -- абелева категория Гротендика, и G -- ее образующий объект. Теорема Габриэля-Попеску утверждает, что фунтор HomA(G,−): A → S-mod, где S = HomA(G,G)op, является вполне строгим и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"), который является точным функтором. Таким образом, категория A может быть представлена как локализация S-mod по серровской подкатегории, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм. Обратно, любая такая локализация категории модулей над кольцом является абелевой категорией Гротендика.

Пусть T: Set → Set -- монада на категории множеств, являющаяся κ-достижимым функтором (т.е., функтором, сохраняющим κ-фильтрованные копределы) для некоторого регулярного кардинала κ. Предположим, что монада T аддитивна, т.е., категория T-модулей/T-алгебр является аддитивной (или, что эквивалентно, абелевой) категорией. Категории вида B = T-mod ("категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий") образуют наиболее общий естественный класс абелевых категорий "контрамодульного типа".

Объект T(X) ∈ B называется свободным объектом категории B, порожденным множеством X. Для любого непустого множества X, объект T(X) является проективной образующей категории B. Обратно, кополная абелева категория B с проективной образующей P является категорией модулей над аддитивной монадой X → HomB(P, P(X)) на категории множеств. Такая категория B является категорией моделей аддитивной κ-арной алгебраической теорией тогда и только тогда, когда объект P "абстрактно κ-мал", т.е., всякий морфизм P → P(X) факторизуется через копроизведение копий P, индексированное некоторым подмножеством в X мощности, меньшей κ.

Пусть T: Set → Set -- монада, связанная с κ-арной аддитивной алгебраической теорией, и пусть B -- абелева категория модулей над T. Выберем какое-нибудь множество Z мощности, больше либо равной κ. Положим P = T(Z) и S = HomB(P,P)op. Тогда, как нетрудно видеть, функтор HomB(P,−): B → S-mod -- вполне строгий. Кроме того, этот функтор точен и допускает левый сопряженный функтор ("рефлектор"). Таким образом, категория B может быть представлена как рефлективная полная подкатегория в S-mod с точным функтором вложения, или, другими словами, полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер морфизмов, а также бесконечных произведений, и рефлективная.

Обратно, пусть S -- ассоциативное кольцо и B -- рефлективная полная подкатегория в S-mod, замкнутая относительно ядер и коядер. Тогда B -- кополная абелева категория с проективной образующей (которую можно построить, применив функтор-рефлектор к S-модулю S). Следовательно, если B локально представима (или достижимо вложена в S-mod, т.е., замкнута относительно κ-фильтрованных копределов в S-mod для некоторого регулярного кардинала κ), то B -- категория моделей κ-арной аддитивной алгебраической теории (ср. [Adamek-Rosicky, Corollary 2.48]).

В предположении принципа Вопенки, полная подкатегория в S-mod замкнута относительно пределов тогда и только тогда, когда она рефлективна, и всякая такая полная подкатегория локально представима [AR, Theorem 6.22 and Corollary 6.24]. Таким образом, категории моделей аддитивных κ-арных алгебраических теорий B суть в точности абелевы рефлективные полные подкатегории в категориях модулей над кольцами S-mod с точными функторами вложения B → S-mod.

P.S. Другими словами, эти утверждения можно сформулировать так. Пусть K -- локально представимая абелева категория и G -- какой-нибудь ее образующий объект. Положим S = HomK(G,G)op. Тогда, согласно [AR, Theorem 1.66], функтор HomK(S,−): K → S-mod имеет левый сопряженный функтор F.

Категория K является категорией Гротендика тогда и только тогда, когда для некоторого, или, что эквивалентно, для любого образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий, а функтор F точный. Категория K является категорией моделей некоторой κ-арной алгебраической теории тогда и только тогда, когда для некоторого выбора образующего объекта G ∈ K функтор HomK(G,−) вполне строгий и точный.
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments