Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Комодули и контрамодули

Пусть R -- полное, отделимое топологическое кольцо, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля.

1. Как восстановить по категории дискретных правых R-модулей категорию левых R-контрамодулей? В дополнительном предположении, что у R есть счетная база окрестностей нуля, вопрос отчасти обсуждается в нашей статье с Й.Р. Категория сохраняющих копределы функторов discr-R → Ab эквивалентна категории отделимых левых R-контрамодулей. Категория отделимых левых R-контрамодулей, конечно, неабелева, не замкнута относительно коядер вложений, ни даже расширений в абелевой категории всех левых R-контрамодулей, и т.д. Тем не менее, здесь она нам пригодится.

Заметим, что всякий эпиморфизм в категории отделимых левых R-контрамодулей является также эпиморфизмом в категории всех левых R-контрамодулей. Это следует из того, что у всякого ненулевого левого R-контрамодуля есть ненулевой факторконтрамодуль, являющийся отделимым R-контрамодулем (лемма Накаямы). Теперь, проективные левые R-контрамодули отделимы, и мы можем выделить их внутри категории отделимых левых R-контрамодулей как объекты, обладающие свойством подъема по отношению к эпиморфизмам. Наконец, категория всех левых R-контрамодулей восстанавливается по категории своих проективных объектов стандартным образом (как всякая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов).

2. Как восстановить по категории левых R-контрамодулей категорию дискретных правых R-модулей? Эта задача в чем-то проще и приятнее предыдущей. Категория discr-R просто эквивалентна категории сохраняющих копределы функторов R-contra → Ab (последняя, таким образом, оказывается абелевой).

В самом деле, такой функтор определяется своим значением на образующем проективном объекте R. Помимо того, что все объекты R-contra получаются из R как коядра морфизмов между копроизведениями, здесь важно также, что в категории абелевых групп морфизм из группы в прямую сумму бесконечного числа ее копий определяется своими проекциями на слагаемые (прямая сумма вкладывается в прямое произведение). Поэтому для восстановления функтора F достаточно знать правый R-модуль F(R).

Вопрос в том, какие правые R-модули можно восстановить до функторов F: R-contra → Ab. Дискретные можно, поскольку есть конструкция контратензорного произведения. Чтобы убедиться, что модуль F(R) обязан быть дискретным, нужно рассмотреть сходящееся к нулю семейство элементов rx в топологическом кольце R и соответствующий морфизм R → R[[X]] в R-contra. Существование морфизма F(R) → F(R)[X] в категории Ab, имеющего нужные проекции на слагаемые F(R) на правой стороне стрелки, означает, что для любого элемента m ∈ F(R) произведение mrx должно быть равно нулю для всех, кроме конечного числа, индексов x ∈ X.

2а. Всем хорошо вышеприведенное рассуждение, но остается в нем одна маленькая проблема общетопологического свойства. Пусть m -- элемент из F(R), и пусть U ⊂ R -- множество всех элементов r ∈ R, таких что mr = 0. Мы знаем, что для любого семейства элементов rx, сходящихся к нулю в топологии R, множество всех индексов x, не принадлежащих U, конечно. Как вывести отсюда, что U является окрестностью нуля в R (т.е., содержит открытую окрестность нуля)?

В случае наличия счетной базы у топологии R, ответ ясен. Но в общем случае?

Отметим, что вопрос этот носит фундаментальный характер по отношению к самому понятию "контрамодуля над топологическим кольцом". Могут ли быть две разные топологии на одном кольце, такие что связанные с ними монады на категории множеств совпадают? В том точном смысле, что совпадают структуры "допустимых семейств" и "операций суммирования", описанные во введении к нашему вышеупомянутому препринту?
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments