Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Все категории контрамодулей являются категориями контрамодулей над топологическими кольцами - 2

Лемма 1. Пусть F: B → A -- аддитивный функтор между аддитивными категориями. Предположим, что 1) в категориях A и B существуют произвольные бесконечные прямые суммы, и функтор F сохраняет бесконечные прямые суммы; 2) A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория; 3) функтор F строгий; 4) для любых двух объектов K и L в категории B, всякий морфизм g: F(K) → F(L) в категории A, такой что для любого слабо конечно-порожденного подобъекта E ⊂ F(K) найдется морфизм h: K → L в категории B, такой что морфизмы g и F(h) совпадают в ограничении на E, происходит из некоторого морфизма в категории B, т.е., тогда существует f: K → L, такой что F(f) = g.

Тогда для любого объекта N категории B монада X → HomB(N, N(X)) на категории множеств происходит из некоторой структуры полного, отделимого топологического кольца с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов, на кольце HomB(N,N)op.

Доказательство леммы 1: согласно результату постинга http://posic.livejournal.com/1259548.html , кольцо R = HomA(F(N),F(N))op является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов. Поскольку функтор F строгий, кольцо S = HomB(N,N)op является подкольцом в R. Покажем, что это замкнутое подкольцо.

Пусть g: F(N) → F(N) -- морфизм в категории A, не являющийся образом какого-либо морфизма в категории B при функторе F. Тогда, согласно условию 4), найдется слабо конечно-порожденный подобъект E ⊂ F(K), такой что в категории B нет морфизма N → N, образ которого при функторе F совпадал бы с g в ограничении на E. Теперь множество всех морфизмов F(N) → F(N) в категории A, совпадающих с g в ограничении на E, является открытой окрестностью элемента g в кольце R, не пересекающейся с подкольцом S ⊂ R.

Наделим подкольцо S ⊂ R топологией, индуцированной с топологии кольца R. Из доказанного следует, что S является полным, отделимым топологическим кольцом с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых правых идеалов.

Для любого множества X, отображение HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) инъективно, поскольку F(N(X)) = F(N)(X), функтор F строгий, и отображение HomA(F(N), F(N)(X)) → ∏x∈X HomA(F(N),F(N)) инъективно. Остается показать, что образ отображения HomB(N, N(X)) → ∏x∈X HomB(N,N) состоит из всех X-индексированных семейств элементов HomB(N,N), сходящихся к нулю в топологии кольца S.

В самом деле, для всякого морфизма N → N(X), соответствующее X-индексированное семейство элементов HomB(N,N) сходится к нулю в топологии S, поскольку, рассматриваемое как семейство элементов кольца R, оно происходит из некоторого морфизма F(N) → F(N)(X), и следовательно, сходится к нулю в топологии R.

Чтобы доказать обратную импликацию, нужно проверить, что всякий морфизм F(N) → F(N)(X) в категории A, все композиции которого с проекциями F(N)(X) → F(N) являются образами некоторых морфизмов hx: N → N, x∈X при функторе F, сам является образом некоторого морфизма N → N(X) при функторе F. Для этого нужно снова использовать условие 4). Пусть E ⊂ F(N) -- слабо конечно-порожденный подобъект. Тогда ограничение на E нашего морфизма g: F(N) → F(N)(X) факторизуется через вложение F(N)(Y) → F(N)(X) для некоторого конечного подмножества Y ⊂ X. Соответствующий морфизм E → F(N)(Y) является ограничением на E образа морфизма hY: N → N(Y), компоненты которого суть морфизмы hy, y∈Y. Компонуя морфизм hY с вложением N(Y) → N(X), мы получаем морфизм h: N → N(X), образ которого при функторе F совпадает с морфизмом g в ограничении на подобъект E ⊂ F(N).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть B → A -- аддитивный функтор, удовлетворяющий условиям леммы 1. Тогда забывающий функтор в A из (а) категории алгебр/модулей над любой монадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B, (б) категории коалгебр/комодулей над любой комонадой, сохраняющей бесконечные прямые суммы, на категории B тоже удовлетворяет условиям леммы 1.

(Лемму 2, конечно, нельзя доказать в таком виде. Реальные условия будут намного более ограничительными и менее привлекательно выглядящми.)
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments