Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Все категории контрамодулей являются категориями контрамодулей над топологическими кольцами

Метатеорема: все абелевы категории контрамодулей и полуконтрамодулей, играющие заметную роль в полубесконечной книжке, эквивалентны (если угодно, даже изоморфны) категориям контрамодулей над подходящими топологическими ассоциативными кольцами. Более того, соответствущие эквивалентности категорий можно выбрать таким образом, чтобы они образовывали коммутативные диаграммы с забывающими функторами в категории множеств/абелевых групп.

Возможное исключение из метатеоремы: эквивалентность категорий контрамодулей над топологической алгеброй Ли и ее топологической обертывающей алгеброй доказана в полубесконечной книжке только в предположении счетности базы окрестностей нуля в топологической алгебре Ли. Случай категории контрамодулей над топологической алгеброй Ли без счетной базы окрестностей нуля ниже не обсуждается, а обсуждаются случаи контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами.

Набросок доказательства метатеоремы: известно, что в абелевых категориях контрамодулей над кокольцами и полуконтрамодулей над коалгебрами достаточно много проективных объектов. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие отождествляет категории проективных контрамодулей и полуконтрамодулей с категориями копроективных комодулей и полупроективных полумодулей над соответствующим кокольцом или полуалгеброй. В частности, в категории (полу)контрамодулей имеется выделенный проективный образующий объект, соответствующий комодулю C над коалгеброй C или полумодулю S над полуалгеброй S. Ко-контра/полуко-полуконтра соответствие как раз сопоставляет копроективному C-комодулю M проективный C-контрамодуль HomC(C,M) и полупроективному S-полумодулю N проективный S-полуконтрамодуль HomS(S,N).

Классы копроективных C-комодулей и полупроективных S-полумодулей замкнуты относительно прямых сумм в абелевых категориях C-comod и S-simod. В абелевых категориях C-contra и S-sicntr также есть бесконечные прямые суммы. Эквивалентности между категориями проективных (полу)контрамодулей и ко/полупроективных ко/полумодулей сохраняют бесконечные прямые суммы. Согласно изложенному во введении к препринту 1512.08119, для установления эквивалентности между абелевой категорией C-контрамодулей или S-полуконтрамодулей и категорией контрамодулей над кольцом HomC(C,C) или HomS(S,S), снабженным подходящей топологией, достаточно показать, что монада на категории множеств, сопоставляющая множеству X множество всех морфизмов из соответствующего объекта в прямую сумму X его копий HomC(C, C(X)) или HomS(S, S(X)), происходит из некоторой структуры топологического кольца на HomC(C,C) или HomS(S,S).

Согласно изложенному в серии из двух постингов http://posic.livejournal.com/1260822.html , для этого достаточно проверить, что абелева категория Гротендика C-comod или, соответственно, S-simod является локально слабо конечно-порожденной. Во-первых, пусть S -- полуалгебра над коалгеброй C, и пусть {Mi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории C-comod. Тогда {S□CMi} -- множество слабо конечно-порожденных образующих категории S-simod. Во-вторых, если C -- кокольцо над кольцом A и либо C является проективным правым A-модулем, либо кольцо A нетерово слева, то всякий левый C-комодуль является объединением своих C-подкомодулей, конечно-порожденных как A-модули. Такие C-комодули очевидным образом слабо конечно-порождены как объекты C-comod. Это еще не доказывает заявленных утверждений в полной общности, но покрывает, по крайней мере, случай полуалгебры над коалгеброй над полем (а также над кольцом целых чисел и т.п.)

Чтобы доказать эквивалентность категорий C-contra = HomC(C,C)-contra для проективного над A слева и плоского над A справа кокольца C, нужно использовать версию результатов из постинга по ссылке, справедливую в каких-то предположениях, отличающихся от локальной слабой конечно-порожденности абелевой категории.
Tags: math10
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments