Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Пример не моноидальной модельной категории

В развитие обсуждения в http://posic.livejournal.com/1269531.html

Пусть k -- фиксированное основное поле. Рассмотрим категорию Ch≥0 = Ch≥0(k) неотрицательно когомологически градуированных комплексов k-векторных пространств, т.е, комплексов вида 0 → C0 → C1 → C2 → …

1. Категория Ch≥0 является ассоциативной, коммутативной, унитальной моноидальной (тензорной) категорией со стандартной моноидальной структурой, задаваемой обычной операцией тензорного произведения комплексов.

2. Категория Ch≥0 является модельной категорией со стандартной модельной структурой, в которой

- слабые эквивалентности суть квазиизоморфизмы комплексов;
- расслоения суть покомпонентно сюръективные морфизмы комплексов;
- корасслоения суть морфизмы комплексов, инъективные на компонентах градуировки, большей нуля (на компонентах компексов градуировки ноль корасслоение может быть любым морфизмом векторных пространств).

3. Категория Ch≥0, с этой моноидальной структурой, с этой модельной структурой, НЕ является моноидальной модельной категорией в смысле стандартного определения: аксиома pushout-product https://ncatlab.org/nlab/show/pushout-product+axiom не выполнена.

В самом деле, частным случаем этой аксиомы (когда domain одного из морфизмов -- нулевой объект) является условие, что тензорное умножение на кофибрантный объект должно переводить корасслоения в корасслоения. Далее, все объекты в Ch≥0 кофибрантны, морфизм k[0] → 0 (где k[i] обозначает комплекс с единственной ненулевой компонентой k в градуировке i) -- корасслоение, но тензорное произведение этого морфизма на объект k[−n], n > 0 корасслоением не является.

P.S. На Ch≥0 не существует модельной структуры, в которой все слабые эквивалентности были бы квазиизоморфизмами, а все корасслоения -- мономорфизмами. В самом деле, каков бы ни был класс расслоений, произвольный морфизм в Ch≥0 просто нельзя было бы разложить в композицию корасслоения с последующей слабой эквивалентностью, в такой модельной структуре.

Достаточно рассмотреть пример морфизма k[0] → 0. Разложить его в композицию мономорфизма со следующим за ним квазиизоморфизмом -- значило бы вложить k[0] в ацикличный комплекс. В Ch≥0 нет такого ацикличного комплекса.
Tags: math10
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments