Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

R-мультипликативные системы - 2

(Левая) R-мультипликативная система L называется строгой, если для любой пары вложенных идеалов I ⊂ J ⊂ R отображение mL(1,I,J): IL → JL индуцирует изоморфизм между группой JL и факторгруппой группы IL по сумме образов всех отображений mL(r,K,I), где r ∈ J и K ⊂ R -- правый идеал в R, такой что rK ⊂ I.

Лемма 1. (1) Для любого R-контрамодуля P, R-мультипликативная система red(P) (с компонентами Ired(P) = P/I×P) является строгой.
(2) Для любой строгой R-мультипликативной системы L, отображение сопряжения red(projlim(L)) → L является изоморфизмом R-мультипликативных систем.

R-контрамодуль P называется отделимым, если пересечение его подконтрамодулей I×P по всем открытым правым идеалам I ⊂ R равно нулю.

Лемма 2. (1) Для любой R-мультипликативной системы L, R-контрамодуль projlim(L) отделим.
(2) Для любого левого R-контрамодуля P, морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) сюръективен.
(3) Левый R-контрамодуль P отделим тогда и только тогда, когда морфизм сопряжения P → projlim(red(P)) является изоморфизмом.

Следствие 1. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными эквивалентностями между полными подкатегориями строгих R-мультипликативных систем и отделимых R-контрамодулей в R-msys и R-contra.

Как показывают известные контрпримеры, категория, описываемая следствием 1, не очень хорошо себя ведет с гомологической точки зрения (в частности, полная подкатегория отделимых R-контрамодулей не замкнута не только относительно коядер, но даже и относительно расширений в абелевой категории R-contra). Нашей целью является описание некоторой полной подкатегории в этой категории, обладающей хорошими гомологическими свойствами.

***

Пусть N -- дискретный правый R-модуль; для любого открытого правого идеала I ⊂ R обозначим через N(I) подгруппу элементов, аннулируемых I в N. Для любых двух правых идеалов I, J ⊂ R и элемента r ∈ R, такого что rI ⊂ J, отображение умножения на r, действующее из N в N, ограничивается до отображения r: N(J) → N(I).

Тензорным произведением дискретного правого R-модуля N и левой R-мультипликативной системы L называется факторгруппа прямой суммы абелевых групп N(I)Z IL по сумме образов всех разностей пар отображений из групп N(J)Z IL, индуцированных правыми и левыми действиями элементами r ∈ R, для которых rI ⊂ J. Контратензорное произведение N ⊙R P дискретного правого R-модуля N и левого R-контрамодуля P естественно изоморфно тензорному произведению N ⊗R red(P).

Левый R-контрамодуль P называется (контра)плоским, если функтор N → N ⊙R P точен на категории дискретных правых R-модулей N. Строгая левая R-мультипликативная система L называется плоской, если функтор N → N ⊗R L точен на категории дискретных правых R-модулей N. Из сказанного выше (включая лемму 1(1)) следует, что левый R-контрамодуль P плоский тогда и только тогда, когда левая R-мультипликативная система red(P) плоская.

Нашей целью является доказательство следующего результата.

Теорема. 1. Всякий плоский R-контрамодуль отделим.
2. Полная подкатегория плоских R-контрамодулей замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-contra.
3. Функтор red переводит короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей в короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем.
4. Полная подкатегория плоских R-мультипликативных систем замкнута относительно расширений, ядер сюръективных отображений и направленных прямых пределов в R-msys.
5. Функтор projlim переводит короткие точные последовательности плоских R-мультипликативных систем в короткие точные последовательности плоских R-контрамодулей.

В частности из пунктов 1, 3, 5 теоремы вытекает следующее

Следствие 2. Функторы projlim и red являются взаимно-обратными точными эквивалентностями между полными точными подкатегориями плоских R-мультипликативных систем и плоских R-контрамодулей в R-msys и R-contra.
Tags: math10
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments